交替群英文解釋翻譯、交替群的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 alternating group

分詞翻譯：

交替的英語翻譯：

by turns; replace
【醫】 alternation
【經】 interchange; rotation

群的英語翻譯：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【醫】 group; herd

專業解析

交替群（Alternating Group）是抽象代數中置換群的重要子類，記為$A_n$，由$n$個元素的全體偶置換構成。其名稱源自置換的"交替性"，即交換兩個元素位置時符號的變化特性。以下是其核心定義與數學特性：

1. 嚴格定義與階數計算

   交替群$A_n$是$n$次對稱群$S_n$中所有偶置換構成的子群。其階數為$frac{n!}{2}$，例如$A_4$的階數為$frac{4!}{2}=12$。該定義源自标準代數教材《代數學引論》對置換分類的經典劃分。

2. 關鍵數學性質

   • 單群特性：當$n geq 5$時，$A_n$是單群（不可分解的非平凡正規子群），這一性質在伽羅瓦理論中具有核心價值
   • 生成方式：可由3-輪換（即形如$(a b c)$的置換）生成，例如$A_3$完全由單個3-輪換生成
   • 特殊結構：$A_4$是包含克萊因四元群的最小非交換交替群，其群結構滿足： $$ A_4 = { e, (12)(34), (13)(24), (14)(23), (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) } $$

3. 應用領域

   在伽羅瓦理論中，$A_n$對應五次以上多項式方程不可根式解的情形，這一發現推動了現代群論的發展。物理學家在粒子對稱性研究中也會應用其表示理論。

4. 曆史溯源

   Évariste Galois在1830年代首次系統研究交替群，通過其工作建立了群論與方程可解性的本質聯繫。現代數學百科全書記載，這一發現"重構了代數學的整個框架"。

網絡擴展解釋

交替群是群論中的一個重要概念，通常用符號 ( A_n ) 表示，定義為對稱群 ( S_n ) 中所有偶置換構成的子群。以下從多個角度詳細解釋：

1.基本定義

• 對稱群 ( S_n )：由 ( n ) 個元素的全體置換（即排列方式）構成的群，階為 ( n! )。
• 偶置換：可以分解為偶數個對換（交換兩個元素的操作）的置換。例如，置換 ((1 2 3)) 可分解為兩個對換 ((1 3)(1 2))，因此是偶置換。
• 交替群 ( A_n )：所有偶置換的集合，是 ( S_n ) 中唯一的指數為2的正規子群。

2.階數與結構

• 階數：( |A_n| = frac{n!}{2} )，因為 ( S_n ) 中奇置換和偶置換的數量相等。
• 單群性質：當 ( n geq 5 ) 時，( A_n ) 是單群（沒有非平凡的正規子群），這一性質在五次方程不可解的證明中起關鍵作用。
• 低階特例：
  • ( A_3 )：同構于循環群 ( mathbb{Z}_3 )，階為3。
  • ( A_4 )：階為12，包含克萊因四元群等子群，但非單群。

3.重要性

• 伽羅瓦理論：交替群與多項式方程的根的可解性密切相關。例如，五次方程的伽羅瓦群若為 ( A_5 ) 或 ( S_5 )，則方程無根式解。
• 幾何作用：( A_n ) 在幾何對稱性（如正多面體對稱群）中有自然表現。
• 群分類：( A_5 ) 是最小的非阿貝爾單群，對有限單群分類有基礎意義。

4.與其他群的關系

• 與對稱群：( A_n ) 是 ( S_n ) 的正規子群，且 ( S_n / A_n cong mathbb{Z}_2 )。
• 與置換表示：偶置換可用輪換的偶數積表示，例如3-輪換 ((a b c) = (a c)(a b)) 屬于 ( A_n )。

5.應用領域

• 密碼學：置換群的複雜性用于設計加密協議。
• 物理：粒子物理中的對稱性操作常涉及交替群結構。
• 組合數學：研究排列組合問題時，偶置換的性質常用于計數問題。

總結來說，交替群是研究對稱性、方程可解性及抽象群結構的關鍵對象，其性質在數學和科學中具有廣泛影響。

分類

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

别人正在浏覽...

拌衛杆菌半月面促黃體素淡紫鍊坶菌電容儲存器電視廣播頻帶多語症公立的固定法厚薄假不對稱甲基丙二酸尿極端分子庫興氏現象雷達漆立式動力機卵巢激素論理面心晶體納所得稅前淨收益排字數學噴氣機機場普通法庭氣體吸附實在穩定性受特許者雙重壁空氣浴溯查跳動閥拓撲分類