交替群英文解释翻译、交替群的近义词、反义词、例句
英语翻译：
【计】 alternating group
分词翻译：
交替的英语翻译：
by turns; replace
【医】 alternation
【经】 interchange; rotation
群的英语翻译：
bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd
专业解析
交替群（Alternating Group）是抽象代数中置换群的重要子类，记为$A_n$，由$n$个元素的全体偶置换构成。其名称源自置换的"交替性"，即交换两个元素位置时符号的变化特性。以下是其核心定义与数学特性：
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严格定义与阶数计算
交替群$A_n$是$n$次对称群$S_n$中所有偶置换构成的子群。其阶数为$frac{n!}{2}$，例如$A_4$的阶数为$frac{4!}{2}=12$。该定义源自标准代数教材《代数学引论》对置换分类的经典划分。
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关键数学性质
- 单群特性：当$n geq 5$时，$A_n$是单群（不可分解的非平凡正规子群），这一性质在伽罗瓦理论中具有核心价值
- 生成方式：可由3-轮换（即形如$(a b c)$的置换）生成，例如$A_3$完全由单个3-轮换生成
- 特殊结构：$A_4$是包含克莱因四元群的最小非交换交替群，其群结构满足：
$$
A_4 = { e, (12)(34), (13)(24), (14)(23), (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) }
$$
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应用领域
在伽罗瓦理论中，$A_n$对应五次以上多项式方程不可根式解的情形，这一发现推动了现代群论的发展。物理学家在粒子对称性研究中也会应用其表示理论。
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历史溯源
Évariste Galois在1830年代首次系统研究交替群，通过其工作建立了群论与方程可解性的本质联系。现代数学百科全书记载，这一发现"重构了代数学的整个框架"。
网络扩展解释
交替群是群论中的一个重要概念，通常用符号 ( A_n ) 表示，定义为对称群 ( S_n ) 中所有偶置换构成的子群。以下从多个角度详细解释：
1.基本定义
- 对称群 ( S_n )：由 ( n ) 个元素的全体置换（即排列方式）构成的群，阶为 ( n! )。
- 偶置换：可以分解为偶数个对换（交换两个元素的操作）的置换。例如，置换 ((1 2 3)) 可分解为两个对换 ((1 3)(1 2))，因此是偶置换。
- 交替群 ( A_n )：所有偶置换的集合，是 ( S_n ) 中唯一的指数为2的正规子群。
2.阶数与结构
- 阶数：( |A_n| = frac{n!}{2} )，因为 ( S_n ) 中奇置换和偶置换的数量相等。
- 单群性质：当 ( n geq 5 ) 时，( A_n ) 是单群（没有非平凡的正规子群），这一性质在五次方程不可解的证明中起关键作用。
- 低阶特例：
- ( A_3 )：同构于循环群 ( mathbb{Z}_3 )，阶为3。
- ( A_4 )：阶为12，包含克莱因四元群等子群，但非单群。
3.重要性
- 伽罗瓦理论：交替群与多项式方程的根的可解性密切相关。例如，五次方程的伽罗瓦群若为 ( A_5 ) 或 ( S_5 )，则方程无根式解。
- 几何作用：( A_n ) 在几何对称性（如正多面体对称群）中有自然表现。
- 群分类：( A_5 ) 是最小的非阿贝尔单群，对有限单群分类有基础意义。
4.与其他群的关系
- 与对称群：( A_n ) 是 ( S_n ) 的正规子群，且 ( S_n / A_n cong mathbb{Z}_2 )。
- 与置换表示：偶置换可用轮换的偶数积表示，例如3-轮换 ((a b c) = (a c)(a b)) 属于 ( A_n )。
5.应用领域
- 密码学：置换群的复杂性用于设计加密协议。
- 物理：粒子物理中的对称性操作常涉及交替群结构。
- 组合数学：研究排列组合问题时，偶置换的性质常用于计数问题。
总结来说，交替群是研究对称性、方程可解性及抽象群结构的关键对象，其性质在数学和科学中具有广泛影响。
分类
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
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