變分記號英文解釋翻譯、變分記號的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 variational notation

分詞翻譯：

變的英語翻譯：

become; change
【醫】 meta-; pecilo-; poecil-; poikilo-

分的英語翻譯：

cent; dispart; distribute; divide; marking; minute
【計】 M
【醫】 deci-; Div.; divi-divi

記號的英語翻譯：

earmark; mark; sign; token
【計】 spot mark; token
【醫】 marking
【經】 identification mark; mark; symbols; tick mark

專業解析

變分記號（Variational Symbol）是數學與物理學中用于表示泛函微小變化量的核心符號，通常寫作希臘字母δ（delta）。其核心功能是區分泛函變分與函數微分，在變分法、分析力學及量子場論中具有系統性應用。

一、基本定義與數學特性

變分記號δ代表泛函的獨立變分，即函數空間中的無窮小變化。與全導數符號d不同，δ作用于泛函時保持自變量固定，例如在泛函$J[y]=int_a^b F(x,y,y')dx$中，其變分表達為： $$ δJ = int_a^b left( frac{∂F}{∂y}δy + frac{∂F}{∂y'}δy' right)dx $$ 這種特性使其能有效分離函數形式變化與參數變化（Courant & Hilbert, _Methods of Mathematical Physics_第三章）。

二、應用場景分類

力學系統：在Lagrange方程$frac{d}{dt}left(frac{∂L}{∂dot{q}}right)-frac{∂L}{∂q}=0$中，δq表示廣義坐标的虛位移
場論構建：量子路徑積分理論中的作用量變分$delta S = 0$對應運動方程
優化問題：用于求解等周問題、極小曲面問題等泛函極值（Weinstock, _Calculus of Variations_第五章）

三、曆史演進脈絡

該符號體系由Lagrange在1788年《分析力學》中系統化确立，繼承自Euler早期變分思想，後經Dirichlet、Hilbert等人發展為現代變分理論框架（Fraser, Historical Study of Variational Calculus）。

四、與微分符號的關鍵差異

幾何解釋：d對應流形坐标變化，δ反映函數形式改變
運算規則：δ與微分算子可交換（$delta(dy) = d(delta y)$），但與積分號交換需滿足固定邊界條件
物理意義：在Hamilton原理中，δt=0而dt≠0（Goldstein, _Classical Mechanics_第二章）

網絡擴展解釋

變分記號（通常表示為 $delta$，如 $delta y$）是變分法中的核心符號，用于描述函數或泛函的無窮小變化。以下是其詳細解釋：

1.基本定義

變分表示函數形式本身的微小改變，而非由自變量變化引起的改變。例如，若 $y(x)$ 是一個函數，$delta y$ 表示在自變量 $x$ 固定的情況下，函數 $y(x)$ 的“形狀”發生的微小變化。
與微分的區别：
- 微分 $dy$：由自變量 $x$ 的變化引起，即 $dy = y'(x)dx$。
- 變分 $delta y$：由函數形式的變化引起，與 $x$ 無關。

2.數學表達

泛函的變分：若泛函 $J[y] = int{a}^{b} F(y, y', x) dx$，其變分 $delta J$ 定義為： $$ delta J = int{a}^{b} left( frac{partial F}{partial y} delta y + frac{partial F}{partial y'} delta y' right) dx $$ 通過分部積分可導出歐拉-拉格朗日方程： $$ frac{partial F}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} right) = 0 $$

3.核心性質

變分與微分可交換：$delta (dy/dx) = d(delta y)/dx$。
邊界條件：通常假設變分在邊界處為零（$delta y(a) = delta y(b) = 0$），以簡化計算。

4.應用領域

物理學：最小作用量原理（如分析力學中的拉格朗日方程）。
工程學：優化問題（如懸鍊線、最速降線問題）。
控制理論：最優控制中的哈密頓原理。

5.直觀理解

變分法通過調整函數形式尋找泛函的極值，類似于微積分中通過調整變量尋找函數的極值。變分記號 $delta$ 是這一過程的數學工具，用于形式化描述“函數空間的微小擾動”。

如果需要進一步了解變分法的推導或具體案例，可以參考經典數學物理教材（如《變分法導論》）。