变分记号英文解释翻译、变分记号的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 variational notation

分词翻译：

变的英语翻译：

become; change
【医】 meta-; pecilo-; poecil-; poikilo-

分的英语翻译：

cent; dispart; distribute; divide; marking; minute
【计】 M
【医】 deci-; Div.; divi-divi

记号的英语翻译：

earmark; mark; sign; token
【计】 spot mark; token
【医】 marking
【经】 identification mark; mark; symbols; tick mark

专业解析

变分记号（Variational Symbol）是数学与物理学中用于表示泛函微小变化量的核心符号，通常写作希腊字母δ（delta）。其核心功能是区分泛函变分与函数微分，在变分法、分析力学及量子场论中具有系统性应用。

一、基本定义与数学特性

变分记号δ代表泛函的独立变分，即函数空间中的无穷小变化。与全导数符号d不同，δ作用于泛函时保持自变量固定，例如在泛函$J[y]=int_a^b F(x,y,y')dx$中，其变分表达为： $$ δJ = int_a^b left( frac{∂F}{∂y}δy + frac{∂F}{∂y'}δy' right)dx $$ 这种特性使其能有效分离函数形式变化与参数变化（Courant & Hilbert, _Methods of Mathematical Physics_第三章）。

二、应用场景分类

力学系统：在Lagrange方程$frac{d}{dt}left(frac{∂L}{∂dot{q}}right)-frac{∂L}{∂q}=0$中，δq表示广义坐标的虚位移
场论构建：量子路径积分理论中的作用量变分$delta S = 0$对应运动方程
优化问题：用于求解等周问题、极小曲面问题等泛函极值（Weinstock, _Calculus of Variations_第五章）

三、历史演进脉络

该符号体系由Lagrange在1788年《分析力学》中系统化确立，继承自Euler早期变分思想，后经Dirichlet、Hilbert等人发展为现代变分理论框架（Fraser, Historical Study of Variational Calculus）。

四、与微分符号的关键差异

几何解释：d对应流形坐标变化，δ反映函数形式改变
运算规则：δ与微分算子可交换（$delta(dy) = d(delta y)$），但与积分号交换需满足固定边界条件
物理意义：在Hamilton原理中，δt=0而dt≠0（Goldstein, _Classical Mechanics_第二章）

网络扩展解释

变分记号（通常表示为 $delta$，如 $delta y$）是变分法中的核心符号，用于描述函数或泛函的无穷小变化。以下是其详细解释：

1.基本定义

变分表示函数形式本身的微小改变，而非由自变量变化引起的改变。例如，若 $y(x)$ 是一个函数，$delta y$ 表示在自变量 $x$ 固定的情况下，函数 $y(x)$ 的“形状”发生的微小变化。
与微分的区别：
- 微分 $dy$：由自变量 $x$ 的变化引起，即 $dy = y'(x)dx$。
- 变分 $delta y$：由函数形式的变化引起，与 $x$ 无关。

2.数学表达

泛函的变分：若泛函 $J[y] = int{a}^{b} F(y, y', x) dx$，其变分 $delta J$ 定义为： $$ delta J = int{a}^{b} left( frac{partial F}{partial y} delta y + frac{partial F}{partial y'} delta y' right) dx $$ 通过分部积分可导出欧拉-拉格朗日方程： $$ frac{partial F}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} right) = 0 $$

3.核心性质

变分与微分可交换：$delta (dy/dx) = d(delta y)/dx$。
边界条件：通常假设变分在边界处为零（$delta y(a) = delta y(b) = 0$），以简化计算。

4.应用领域

物理学：最小作用量原理（如分析力学中的拉格朗日方程）。
工程学：优化问题（如悬链线、最速降线问题）。
控制理论：最优控制中的哈密顿原理。

5.直观理解

变分法通过调整函数形式寻找泛函的极值，类似于微积分中通过调整变量寻找函数的极值。变分记号 $delta$ 是这一过程的数学工具，用于形式化描述“函数空间的微小扰动”。

如果需要进一步了解变分法的推导或具体案例，可以参考经典数学物理教材（如《变分法导论》）。