變分法英文解釋翻譯、變分法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 calculus of variation; calculus of variations; variation method
【化】 variation method; variational method

分詞翻譯：

變的英語翻譯：

become; change
【醫】 meta-; pecilo-; poecil-; poikilo-

分的英語翻譯：

cent; dispart; distribute; divide; marking; minute
【計】 M
【醫】 deci-; Div.; divi-divi

法的英語翻譯：

dharma; divisor; follow; law; standard
【醫】 method
【經】 law

專業解析

變分法（Calculus of Variations）是數學中處理泛函極值問題的分支，核心在于尋找使泛函（函數的函數）取得極值的特定函數。以下是漢英詞典視角的詳細解釋：

一、數學本質

變分法研究如何通過微小擾動（變分）尋找使泛函 ( J[y] ) 取極值的函數 ( y(x) )。其核心方程為歐拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）： $$ frac{partial F}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} right) = 0 $$ 其中 ( F ) 是依賴于 ( x, y(x), y'(x) ) 的泛函被積函數。

二、核心概念

泛函（Functional）
以函數為輸入、實數為輸出的映射，例如曲線長度 ( J[y] = int_a^b sqrt{1 + (y')}dx )。

變分（Variation）
函數的無窮小擾動 ( delta y )，類比微積分中的微分。

自然邊界條件（Natural Boundary Conditions）
極值函數在邊界需滿足的自動導出的約束條件。

三、典型應用領域

物理學：最小作用量原理（哈密頓原理）推導經典力學方程
幾何學：求解測地線（最短路徑）問題
最優控制：設計航天器軌道、機器人運動軌迹
圖像處理：活動輪廓模型（Active Contour）分割圖像

權威參考文獻

《數學辭海》第2卷（中國科學技術出版社）定義變分法為"泛函極值的分析方法"
Springer出版社《Encyclopedia of Mathematics》詳解歐拉-拉格朗日方程推導（鍊接）
劍橋大學數學講義《Variational Principles》展示物理學應用案例（鍊接）

此解釋綜合數學定義、核心原理及跨學科應用，符合術語的學術規範與工程實踐背景。

網絡擴展解釋

變分法是數學中研究泛函極值問題的分支，其核心是通過尋找使泛函取得極值的函數來解決物理、工程等領域的優化問題。以下從概念、核心思想和應用三方面解釋：

基本定義
變分法處理的對象是泛函——以函數為自變量、輸出實數的映射。例如，連接兩點的曲線長度（輸入為曲線函數，輸出為長度值）就是一個泛函。變分法的目标是找到使泛函取極值的特定函數，類似于微積分中求函數極值的過程。
核心思想與工具
- 變分概念：類比函數的微分，泛函的變分描述函數微小變化引起的泛函變化量。
- 歐拉-拉格朗日方程：解決泛函極值問題的關鍵方程，形式為： $$ frac{partial L}{partial y} - frac{d}{dx}left( frac{partial L}{partial y'} right) = 0 $$ 其中( L )是包含未知函數( y(x) )及其導數( y' )的拉格朗日量。
經典應用場景
- 物理學：最小作用量原理（如光線路徑遵循費馬原理）、分析力學中的拉格朗日方程；
- 幾何學：求解最短路徑（測地線）、懸鍊線形狀；
- 工程優化：彈性力學中的能量最小化、有限元分析基礎；
- 現代擴展：圖像處理中的主動輪廓模型、機器學習中的變分推斷。

示例：最速降線問題中，變分法證明了擺線（旋輪線）是使小球從A點到B點時間最短的曲線，而非直線。這一結果在17世紀由約翰·伯努利提出，推動了變分法理論的發展。

變分法通過将物理規律轉化為數學優化問題，架起了連續介質建模與實際問題求解的橋梁。深入學習可參考《變分法基礎》（老大中著）或Courant的數學物理方法相關章節。