变分法英文解释翻译、变分法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 calculus of variation; calculus of variations; variation method
【化】 variation method; variational method

分词翻译：

变的英语翻译：

become; change
【医】 meta-; pecilo-; poecil-; poikilo-

分的英语翻译：

cent; dispart; distribute; divide; marking; minute
【计】 M
【医】 deci-; Div.; divi-divi

法的英语翻译：

dharma; divisor; follow; law; standard
【医】 method
【经】 law

专业解析

变分法（Calculus of Variations）是数学中处理泛函极值问题的分支，核心在于寻找使泛函（函数的函数）取得极值的特定函数。以下是汉英词典视角的详细解释：

一、数学本质

变分法研究如何通过微小扰动（变分）寻找使泛函 ( J[y] ) 取极值的函数 ( y(x) )。其核心方程为欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）： $$ frac{partial F}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} right) = 0 $$ 其中 ( F ) 是依赖于 ( x, y(x), y'(x) ) 的泛函被积函数。

二、核心概念

泛函（Functional）
以函数为输入、实数为输出的映射，例如曲线长度 ( J[y] = int_a^b sqrt{1 + (y')}dx )。

变分（Variation）
函数的无穷小扰动 ( delta y )，类比微积分中的微分。

自然边界条件（Natural Boundary Conditions）
极值函数在边界需满足的自动导出的约束条件。

三、典型应用领域

物理学：最小作用量原理（哈密顿原理）推导经典力学方程
几何学：求解测地线（最短路径）问题
最优控制：设计航天器轨道、机器人运动轨迹
图像处理：活动轮廓模型（Active Contour）分割图像

权威参考文献

《数学辞海》第2卷（中国科学技术出版社）定义变分法为"泛函极值的分析方法"
Springer出版社《Encyclopedia of Mathematics》详解欧拉-拉格朗日方程推导（链接）
剑桥大学数学讲义《Variational Principles》展示物理学应用案例（链接）

此解释综合数学定义、核心原理及跨学科应用，符合术语的学术规范与工程实践背景。

网络扩展解释

变分法是数学中研究泛函极值问题的分支，其核心是通过寻找使泛函取得极值的函数来解决物理、工程等领域的优化问题。以下从概念、核心思想和应用三方面解释：

基本定义
变分法处理的对象是泛函——以函数为自变量、输出实数的映射。例如，连接两点的曲线长度（输入为曲线函数，输出为长度值）就是一个泛函。变分法的目标是找到使泛函取极值的特定函数，类似于微积分中求函数极值的过程。
核心思想与工具
- 变分概念：类比函数的微分，泛函的变分描述函数微小变化引起的泛函变化量。
- 欧拉-拉格朗日方程：解决泛函极值问题的关键方程，形式为： $$ frac{partial L}{partial y} - frac{d}{dx}left( frac{partial L}{partial y'} right) = 0 $$ 其中( L )是包含未知函数( y(x) )及其导数( y' )的拉格朗日量。
经典应用场景
- 物理学：最小作用量原理（如光线路径遵循费马原理）、分析力学中的拉格朗日方程；
- 几何学：求解最短路径（测地线）、悬链线形状；
- 工程优化：弹性力学中的能量最小化、有限元分析基础；
- 现代扩展：图像处理中的主动轮廓模型、机器学习中的变分推断。

示例：最速降线问题中，变分法证明了摆线（旋轮线）是使小球从A点到B点时间最短的曲线，而非直线。这一结果在17世纪由约翰·伯努利提出，推动了变分法理论的发展。

变分法通过将物理规律转化为数学优化问题，架起了连续介质建模与实际问题求解的桥梁。深入学习可参考《变分法基础》（老大中著）或Courant的数学物理方法相关章节。