後向有限差分英文解釋翻譯、後向有限差分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 backward finite difference

分詞翻譯：

後的英語翻譯：

after; back; behind; offspring; queen
【醫】 meta-; post-; retro-

向的英語翻譯：

always; at; be partial to; direction; face; out; to; toward
【醫】 ad-; ak-; ob-

有限差分的英語翻譯：

【計】 finite difference

專業解析

後向有限差分（Backward Finite Difference）是數值分析中用于近似導數運算的核心方法之一。其核心思想是利用當前節點與前一相鄰節點的函數值差異，構建離散化的一階或高階導數近似表達式。

一、數學定義與公式

對于一階導數，後向有限差分公式可表示為： $$ f'(x_i) approx frac{f(xi) - f(x{i-1})}{h} $$ 其中$h$為離散化步長，$x_i = x_0 + ih$為離散節點。該公式通過泰勒展開推導，截斷誤差為$O(h)$量級，屬于一階精度格式。

二、應用場景

在工程計算領域，後向差分常用于：

時間相關偏微分方程（如熱傳導方程）的隱式格式離散
電路瞬态分析的數值積分方法
流體力學中非穩态流動的數值模拟

三、對比優勢

相較于前向差分，後向差分具有更好的數值穩定性，特别適合處理具有耗散特性的物理系統。與中心差分相比，雖然精度較低，但計算量更小，適用于邊界條件處理。

四、擴展應用

高階後向差分公式可遞推構建，如二階導數近似： $$ f''(x_i) approx frac{f(xi) - 2f(x{i-1}) + f(x_{i-2})}{h} $$ 該格式在結構力學振動分析中具有重要應用價值。

參考文獻

Burden, R. L., & Faires, J. D. Numerical Analysis (9th ed.)
Morton, K. W., & Mayers, D. F. Numerical Solution of Partial Differential Equations
LeVeque, R. J. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations

網絡擴展解釋

後向有限差分是數值分析中用于近似計算函數導數的離散化方法，其核心思想是利用當前點及其前一節點的函數值構建差分表達式。具體解釋如下：

1. 數學定義

對于一階導數，後向有限差分公式為： $$ f'(x) approx frac{f(x) - f(x - h)}{h} $$ 其中，( h ) 為步長。例如在時間序列分析中，若當前時刻為 ( t )，則用 ( f(t) ) 和 ( f(t - Delta t) ) 的差值近似當前時刻的導數。

2. 精度特性

一階精度：截斷誤差為 ( O(h) )，精度低于中心差分（二階），但與前向差分相當
隱式特性：常用于隱式積分方法（如後向歐拉法），具有更好的數值穩定性

3. 對比其他差分

差分類型	公式	精度	穩定性
前向差分	( frac{f(x+h)-f(x)}{h} )	一階	顯式
後向差分	( frac{f(x)-f(x-h)}{h} )	一階	隱式
中心差分	( frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} )	二階	中性

4. 典型應用

微分方程求解：在熱傳導方程、波動方程的隱式格式中廣泛使用
信號處理：用于離散時間信號的導數計算
機器學習：梯度下降法中局部梯度的近似估計

5. 誤差分析

泰勒展開顯示其截斷誤差主要來自忽略二階導項： $$ f(x-h) = f(x) - hf'(x) + frac{h}{2}f''(xi), quad xi in [x-h, x] $$ 整理後可得誤差項為 ( -frac{h}{2}f''(xi) )，驗證了一階精度特性。