廣義坐标英文解釋翻譯、廣義坐标的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 generalized coordinate
【化】 generalized coordinate

分詞翻譯：

廣義的英語翻譯：

broad sense; generalized

坐标的英語翻譯：

coordinate
【電】 coordinates; frame of reference

專業解析

廣義坐标（Generalized Coordinates）的漢英詞典式解析

在理論力學與物理學中，廣義坐标（Generalized Coordinates）是一組用于唯一确定一個力學系統位形（Configuration）的最小獨立變量。它突破了笛卡爾坐标系的限制，允許選擇任何方便的參數（如角度、弧長、能量等）來描述系統的運動狀态，是分析複雜約束系統動力學的核心工具。

一、術語定義與核心特征

中文名稱：廣義坐标 (Guǎngyì Zuòbiāo)
英文對應：Generalized Coordinates
核心内涵：
- 獨立性：一組廣義坐标 $q_1, q_2, dots, q_n$ 是相互獨立的，其數量 $n$ 等于系統的自由度（Degrees of Freedom）。系統的位形由這 $n$ 個變量的瞬時值完全确定。
- 廣義性：不受限于特定的幾何形式（如直角坐标 $x, y, z$）。可以是角度（如 $theta$）、長度（如 $s$）、面積，甚至是能量或其他物理量，隻要它們能唯一确定系統内所有質點的位置。
- 約束處理：特别適用于處理帶有約束（Constraints）的系統。通過選擇合適的廣義坐标，可以自動滿足約束條件，簡化運動方程的推導。

二、數學表達與拉格朗日力學在拉格朗日力學（Lagrangian Mechanics）框架下，廣義坐标是基礎變量。系統的動力學由拉格朗日量（Lagrangian） $L$ 描述： $$ L = T - V $$ 其中 $T$ 是系統動能，$V$ 是系統勢能，兩者均表示為廣義坐标 $q_i$、廣義速度 $dot{q_i}$ (即 $dq_i/dt$) 和時間的函數。

系統的真實運動軌迹滿足拉格朗日方程（Lagrange's Equations）： $$ frac{d}{dt} left( frac{partial L}{partial dot{q}_i} right) = frac{partial L}{partial q_i} quad (i = 1, 2, dots, n) $$ 該方程直接給出了以廣義坐标 $q_i$ 表示的 $n$ 個二階常微分方程，是求解複雜系統運動的核心工具。

三、應用價值與實例

簡化建模：例如，單擺系統用笛卡爾坐标 $(x, y)$ 描述需附加約束 $x + y = l$，而選擇擺角 $theta$ 作為廣義坐标則自動滿足約束，自由度降為1。
統一框架：無論系統多麼複雜（多剛體、非完整約束等），隻要确定了合適的廣義坐标和拉格朗日量，即可應用統一的拉格朗日方程求解。
工程與物理基礎：是分析力學、機器人學、航天動力學、量子力學等領域的理論基礎。

權威參考資料：

MIT OpenCourseWare - Classical Mechanics II：詳細講解廣義坐标定義、拉格朗日方程推導及應用實例 (https://ocw.mit.edu/courses/8-09-classical-mechanics-iii-fall-2014/) 。
《中國大百科全書》第三版網絡版 - 力學卷：提供“廣義坐标”詞條的權威中文定義及其在分析力學中的地位 (https://www.zgbk.com/) 。
Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2001). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison Wesley.：經典教材，系統闡述廣義坐标理論 (ISBN: 0201657023)。

網絡擴展解釋

廣義坐标是分析力學和工程領域中用于描述複雜系統位形的核心概念，其核心特點在于擺脫傳統坐标（如笛卡爾坐标）的限制，通過獨立參數簡化多約束系統的建模。

具體解釋

定義與作用
廣義坐标是一組不特定的獨立參數，用于确定系統的幾何位形（如質點、剛體的位置）。它們可以是角度、長度或其他物理量，能夠靈活適應不同約束條件。例如，單擺問題中可用擺角代替笛卡爾坐标（x, y）描述運動。
關鍵特性
- 獨立性：需選擇彼此獨立的坐标，以減少約束方程引入的冗餘變量。例如，n個質點的系統若有k個約束，廣義坐标數應為N=3n-k。
- 靈活性：同一系統可用不同廣義坐标描述，如剛體旋轉問題可用歐拉角或四元數。
應用場景
廣義坐标是分析力學（如拉格朗日方程、哈密頓力學）的基礎，也是有限元法中簡化多體系統數值計算的關鍵工具。例如，在有限元分析中，通過廣義坐标可對複雜區域進行離散化處理，降低求解偏微分方程的難度。

示例說明

以雙擺系統為例：若用笛卡爾坐标需跟蹤4個變量（x₁, y₁, x₂, y₂），而使用兩個擺角θ₁、θ₂作為廣義坐标，可直接消除約束（擺長固定），簡化方程推導。

通過這種參數化方法，廣義坐标實現了對複雜系統的簡潔高效描述，成為理論力學和工程計算中不可或缺的工具。