廣義拉蓋爾多項式英文解釋翻譯、廣義拉蓋爾多項式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 generalized Laguerre polynomial

分詞翻譯：

廣義的英語翻譯：

broad sense; generalized

拉蓋爾多項式的英語翻譯：

【計】 laguerre's polynomials

專業解析

廣義拉蓋爾多項式（Generalized Laguerre Polynomials）是一類在數學物理和工程領域廣泛應用的正交多項式，其定義為參數化後的二階線性微分方程解。該多項式通常表示為 $L_n^{(alpha)}(x)$，其中 $n$ 為非負整數階數，$alpha$ 為實數參數，滿足微分方程： $$ x frac{d y}{dx} + (alpha +1 -x) frac{dy}{dx} + n y = 0 $$

核心數學性質

正交性：在區間 $[0, infty)$ 上，廣義拉蓋爾多項式關于權函數 $x^alpha e^{-x}$ 正交，即： $$ int_0^infty L_m^{(alpha)}(x) Ln^{(alpha)}(x) x^alpha e^{-x} dx = frac{Gamma(n+alpha+1)}{n!} delta{mn} $$ 其中 $Gamma$ 為伽馬函數，$delta_{mn}$ 為克羅内克函數。
生成函數：其生成函數表達式為： $$ sum_{n=0}^infty L_n^{(alpha)}(x) t^n = frac{e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)^{alpha+1}} $$

應用領域

廣義拉蓋爾多項式在量子力學中用于描述氫原子徑向波函數，在概率論中用于伽馬分布的矩生成函數計算，同時在光學和信號處理中也有重要應用。

參考來源

《數學物理方法》（Arfken & Weber, 第7版）
NIST數學函數庫（https://dlmf.nist.gov/18.3）
《特殊函數及其應用》（Andrews, 1998）

網絡擴展解釋

廣義拉蓋爾多項式是數學中的一類特殊正交多項式，在量子力學、統計學和工程領域有重要應用。以下是其核心要點：

1.定義與數學形式

廣義拉蓋爾多項式 $L_n^{(alpha)}(x)$ 是标準拉蓋爾多項式的推廣形式，引入參數 $alpha$（通常 $alpha > -1$）。其數學表達式為： $$ L_n^{(alpha)}(x) = frac{x^{-alpha}e^x}{n!} frac{d^n}{dx^n}(x^{n+alpha}e^{-x}) $$ 該定義通過微分算子生成，屬于施圖姆-劉維爾型微分方程的解。

2.正交性

在區間 $[0, +infty)$ 上，廣義拉蓋爾多項式具有帶權正交性，權函數為 $x^alpha e^{-x}$。正交關系可表示為： $$ int_0^infty x^alpha e^{-x} L_m^{(alpha)}(x) Ln^{(alpha)}(x) dx = frac{Gamma(n+alpha+1)}{n!} delta{mn} $$ 其中 $Gamma$ 是伽馬函數，$delta_{mn}$ 為克羅内克函數。

3.與标準拉蓋爾多項式的關系

當 $alpha=0$ 時，廣義形式退化為标準拉蓋爾多項式： $$ L_n(x) = Ln^{(0)}(x) = sum{k=0}^n binom{n}{k} frac{(-1)^k}{k!} x^k $$ 例如，前兩階多項式為：

$L_0(x)=1$
$L_1(x)=-x+1$。

4.應用領域

量子力學：用于求解氫原子薛定谔方程的徑向波函數部分，例如氫原子波函數中包含 $L_{n-l-1}^{2l+1}(2r/(n a_mu))$ 。
信號處理：在廣義Alpha尺度正交濾波器中作為基函數使用。
概率論：與伽馬分布相關的正交多項式系。

5.計算實現

在MATLAB中可通過内置函數laguerreL(n, alpha, x)直接調用，或通過遞歸關系生成系數向量。Python中則需借助科學計算庫（如SymPy或SciPy）實現。

如需更完整的數學推導或代碼實現細節，可參考來源網頁。