广义拉盖尔多项式英文解释翻译、广义拉盖尔多项式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 generalized Laguerre polynomial

分词翻译：

广义的英语翻译：

broad sense; generalized

拉盖尔多项式的英语翻译：

【计】 laguerre's polynomials

专业解析

广义拉盖尔多项式（Generalized Laguerre Polynomials）是一类在数学物理和工程领域广泛应用的正交多项式，其定义为参数化后的二阶线性微分方程解。该多项式通常表示为 $L_n^{(alpha)}(x)$，其中 $n$ 为非负整数阶数，$alpha$ 为实数参数，满足微分方程： $$ x frac{d y}{dx} + (alpha +1 -x) frac{dy}{dx} + n y = 0 $$

核心数学性质

正交性：在区间 $[0, infty)$ 上，广义拉盖尔多项式关于权函数 $x^alpha e^{-x}$ 正交，即： $$ int_0^infty L_m^{(alpha)}(x) Ln^{(alpha)}(x) x^alpha e^{-x} dx = frac{Gamma(n+alpha+1)}{n!} delta{mn} $$ 其中 $Gamma$ 为伽马函数，$delta_{mn}$ 为克罗内克函数。
生成函数：其生成函数表达式为： $$ sum_{n=0}^infty L_n^{(alpha)}(x) t^n = frac{e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)^{alpha+1}} $$

应用领域

广义拉盖尔多项式在量子力学中用于描述氢原子径向波函数，在概率论中用于伽马分布的矩生成函数计算，同时在光学和信号处理中也有重要应用。

参考来源

《数学物理方法》（Arfken & Weber, 第7版）
NIST数学函数库（https://dlmf.nist.gov/18.3）
《特殊函数及其应用》（Andrews, 1998）

网络扩展解释

广义拉盖尔多项式是数学中的一类特殊正交多项式，在量子力学、统计学和工程领域有重要应用。以下是其核心要点：

1.定义与数学形式

广义拉盖尔多项式 $L_n^{(alpha)}(x)$ 是标准拉盖尔多项式的推广形式，引入参数 $alpha$（通常 $alpha > -1$）。其数学表达式为： $$ L_n^{(alpha)}(x) = frac{x^{-alpha}e^x}{n!} frac{d^n}{dx^n}(x^{n+alpha}e^{-x}) $$ 该定义通过微分算子生成，属于施图姆-刘维尔型微分方程的解。

2.正交性

在区间 $[0, +infty)$ 上，广义拉盖尔多项式具有带权正交性，权函数为 $x^alpha e^{-x}$。正交关系可表示为： $$ int_0^infty x^alpha e^{-x} L_m^{(alpha)}(x) Ln^{(alpha)}(x) dx = frac{Gamma(n+alpha+1)}{n!} delta{mn} $$ 其中 $Gamma$ 是伽马函数，$delta_{mn}$ 为克罗内克函数。

3.与标准拉盖尔多项式的关系

当 $alpha=0$ 时，广义形式退化为标准拉盖尔多项式： $$ L_n(x) = Ln^{(0)}(x) = sum{k=0}^n binom{n}{k} frac{(-1)^k}{k!} x^k $$ 例如，前两阶多项式为：

$L_0(x)=1$
$L_1(x)=-x+1$。

4.应用领域

量子力学：用于求解氢原子薛定谔方程的径向波函数部分，例如氢原子波函数中包含 $L_{n-l-1}^{2l+1}(2r/(n a_mu))$ 。
信号处理：在广义Alpha尺度正交滤波器中作为基函数使用。
概率论：与伽马分布相关的正交多项式系。

5.计算实现

在MATLAB中可通过内置函数laguerreL(n, alpha, x)直接调用，或通过递归关系生成系数向量。Python中则需借助科学计算库（如SymPy或SciPy）实现。

如需更完整的数学推导或代码实现细节，可参考来源网页。