可解群英文解釋翻譯、可解群的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 solvable group

分詞翻譯：

可的英語翻譯：

approve; but; can; may; need; yet

解的英語翻譯：

dispel; divide; separate; solution; explain; relieve oneself; send under guard
unbind; uncoil; understand
【醫】 ant-; anti-

群的英語翻譯：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【醫】 group; herd

專業解析

可解群（Solvable Group）的漢英詞典釋義與數學解析

在抽象代數（Abstract Algebra）中，“可解群”（Solvable Group）是一個核心概念，其名稱源于該性質與多項式方程根式可解性（Solvability by Radicals）的深刻聯繫。以下從漢英對照與數學定義角度進行詳細解釋：

一、漢語定義與詞源

可解群（Kě jiě qún）
指一類特殊的群（Group），其存在一系列子群鍊，使得相鄰子群均為正規子群（Normal Subgroup），且對應的商群（Quotient Group）均為阿貝爾群（Abelian Group）。這一概念由法國數學家伽羅瓦（Évariste Galois）首次提出，用于刻畫多項式方程是否可通過有限次根式求解的本質特征。

二、英語定義與術語對照

Solvable Group（英）/ Soluble Group（英）
A group ( G ) is calledsolvable if it has a subnormal series:

$$

{ e } = G_0 triangleleft G_1 triangleleft cdots triangleleft Gk = G

$$

such that each quotient group ( G{i+1}/G_i ) is abelian.

注：在部分文獻中，"solvable"與"soluble"可互換使用，但現代數學文獻普遍采用"solvable"。

三、核心性質與判定條件

等價定義
群 ( G ) 可解當且僅當其導群列（Derived Series）終止于平凡群：

$$

G^{(0)} = G, quad G^{(n+1)} = [G^{(n)}, G^{(n)}], quad G^{(k)} = { e } quad text{for some } k.

$$
典型例子
- 所有阿貝爾群均為可解群。
- 對稱群 ( S_n ) 當 ( n leq 4 ) 時可解，但 ( n geq 5 ) 時不可解（與五次方程無根式解相關）。
運算封閉性
可解群對以下運算封閉：
- 子群（Subgroups）
- 商群（Quotient Groups）
- 有限直積（Finite Direct Products）。

四、應用場景

伽羅瓦理論（Galois Theory）
多項式方程 ( f(x) = 0 ) 根式可解當且僅當其伽羅瓦群為可解群。

例：五次一般方程無根式解，因 ( S_5 ) 非可解群。
有限群分類（Classification of Finite Groups）
可解性是分析有限群結構的關鍵工具，如伯恩賽德定理（Burnside Theorem）斷言階為 ( p^a q^b ) 的群必可解（( p,q ) 為素數）。

五、權威參考來源

《數學名詞》（中國科學院自然科學名詞審定委員會）
定義“可解群”為具有阿貝爾商群列的群。

Springer Online Reference Works
"Solvable Group" in Encyclopedia of Mathematics: 詳述可解群的結構定理與伽羅瓦理論應用。

《群論》（David S. Dummit & Richard M. Foote）
标準教材第6章系統讨論可解群與幂零群（Nilpotent Groups）的判定與性質。

《代數學》（N. Bourbaki）
經典著作第1卷以範疇論視角定義可解群，并關聯到李代數（Lie Algebras）。

“可解群”作為連接群論與方程論的橋梁，其漢英術語均精準反映了“可解性”（Solvability）的數學内涵。理解該概念需把握其子群鍊結構、導群列終止性，以及其在伽羅瓦理論中的決定性作用。

網絡擴展解釋

可解群是群論中的一個重要概念，其核心定義和性質如下：

一、基本定義

可解群是指存在一個由正規子群構成的序列，使得相鄰子群的商群均為阿貝爾群。具體來說：

正規列定義：群$G$若滿足$G=G_0 trianglerighteq G_1 trianglerighteq dots trianglerighteq G_n={e}$，且每個商群$Gi/G{i+1}$為阿貝爾群，則稱$G$為可解群。
導群列定義：通過換位子群遞歸定義，若存在$k$使得$G^{(k)}={e}$（其中$G^{(i+1)}=[G^{(i)}, G^{(i)}]$），則$G$可解。

二、等價條件（有限群情形）

對于有限群，可解性有以下等價表述：

存在合成列，其商群均為素數階循環群。
每個極大子群的指數為素數幂。

三、曆史背景與應用

可解群的概念源于伽羅瓦對多項式方程根式可解性的研究。他發現，多項式方程能用根式解當且僅當其伽羅瓦群是可解群。例如，五次及以上一般方程不可根式解，正是因為其對稱群$S_n$（$n geq 5$）不可解。

四、重要性質

子群與商群：可解群的子群和商群仍為可解群。
擴展性質：若$N trianglelefteq G$且$N$和$G/N$均可解，則$G$可解。
典型例子：阿貝爾群、$p$-群（$p$為素數）均為可解群。

五、相關拓展

有限$pi$-可解群是可解群的推廣，要求群結構中的素數屬于集合$pi$，且其$pi$-子群滿足特定可解條件。