可解群英文解释翻译、可解群的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 solvable group

分词翻译：

可的英语翻译：

approve; but; can; may; need; yet

解的英语翻译：

dispel; divide; separate; solution; explain; relieve oneself; send under guard
unbind; uncoil; understand
【医】 ant-; anti-

群的英语翻译：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd

专业解析

可解群（Solvable Group）的汉英词典释义与数学解析

在抽象代数（Abstract Algebra）中，“可解群”（Solvable Group）是一个核心概念，其名称源于该性质与多项式方程根式可解性（Solvability by Radicals）的深刻联系。以下从汉英对照与数学定义角度进行详细解释：

一、汉语定义与词源

可解群（Kě jiě qún）
指一类特殊的群（Group），其存在一系列子群链，使得相邻子群均为正规子群（Normal Subgroup），且对应的商群（Quotient Group）均为阿贝尔群（Abelian Group）。这一概念由法国数学家伽罗瓦（Évariste Galois）首次提出，用于刻画多项式方程是否可通过有限次根式求解的本质特征。

二、英语定义与术语对照

Solvable Group（英）/ Soluble Group（英）
A group ( G ) is calledsolvable if it has a subnormal series:

$$

{ e } = G_0 triangleleft G_1 triangleleft cdots triangleleft Gk = G

$$

such that each quotient group ( G{i+1}/G_i ) is abelian.

注：在部分文献中，"solvable"与"soluble"可互换使用，但现代数学文献普遍采用"solvable"。

三、核心性质与判定条件

等价定义
群 ( G ) 可解当且仅当其导群列（Derived Series）终止于平凡群：

$$

G^{(0)} = G, quad G^{(n+1)} = [G^{(n)}, G^{(n)}], quad G^{(k)} = { e } quad text{for some } k.

$$
典型例子
- 所有阿贝尔群均为可解群。
- 对称群 ( S_n ) 当 ( n leq 4 ) 时可解，但 ( n geq 5 ) 时不可解（与五次方程无根式解相关）。
运算封闭性
可解群对以下运算封闭：
- 子群（Subgroups）
- 商群（Quotient Groups）
- 有限直积（Finite Direct Products）。

四、应用场景

伽罗瓦理论（Galois Theory）
多项式方程 ( f(x) = 0 ) 根式可解当且仅当其伽罗瓦群为可解群。

例：五次一般方程无根式解，因 ( S_5 ) 非可解群。
有限群分类（Classification of Finite Groups）
可解性是分析有限群结构的关键工具，如伯恩赛德定理（Burnside Theorem）断言阶为 ( p^a q^b ) 的群必可解（( p,q ) 为素数）。

五、权威参考来源

《数学名词》（中国科学院自然科学名词审定委员会）
定义“可解群”为具有阿贝尔商群列的群。

Springer Online Reference Works
"Solvable Group" in Encyclopedia of Mathematics: 详述可解群的结构定理与伽罗瓦理论应用。

《群论》（David S. Dummit & Richard M. Foote）
标准教材第6章系统讨论可解群与幂零群（Nilpotent Groups）的判定与性质。

《代数学》（N. Bourbaki）
经典著作第1卷以范畴论视角定义可解群，并关联到李代数（Lie Algebras）。

“可解群”作为连接群论与方程论的桥梁，其汉英术语均精准反映了“可解性”（Solvability）的数学内涵。理解该概念需把握其子群链结构、导群列终止性，以及其在伽罗瓦理论中的决定性作用。

网络扩展解释

可解群是群论中的一个重要概念，其核心定义和性质如下：

一、基本定义

可解群是指存在一个由正规子群构成的序列，使得相邻子群的商群均为阿贝尔群。具体来说：

正规列定义：群$G$若满足$G=G_0 trianglerighteq G_1 trianglerighteq dots trianglerighteq G_n={e}$，且每个商群$Gi/G{i+1}$为阿贝尔群，则称$G$为可解群。
导群列定义：通过换位子群递归定义，若存在$k$使得$G^{(k)}={e}$（其中$G^{(i+1)}=[G^{(i)}, G^{(i)}]$），则$G$可解。

二、等价条件（有限群情形）

对于有限群，可解性有以下等价表述：

存在合成列，其商群均为素数阶循环群。
每个极大子群的指数为素数幂。

三、历史背景与应用

可解群的概念源于伽罗瓦对多项式方程根式可解性的研究。他发现，多项式方程能用根式解当且仅当其伽罗瓦群是可解群。例如，五次及以上一般方程不可根式解，正是因为其对称群$S_n$（$n geq 5$）不可解。

四、重要性质

子群与商群：可解群的子群和商群仍为可解群。
扩展性质：若$N trianglelefteq G$且$N$和$G/N$均可解，则$G$可解。
典型例子：阿贝尔群、$p$-群（$p$为素数）均为可解群。

五、相关拓展

有限$pi$-可解群是可解群的推广，要求群结构中的素数属于集合$pi$，且其$pi$-子群满足特定可解条件。