矩陣環英文解釋翻譯、矩陣環的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 matrix ring

分詞翻譯：

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

環的英語翻譯：

annulus; hem in; link; loop; ring; surround
【計】 ring up; toroid
【化】 ring
【醫】 annuli; anulus; band; circle; circulus; cycle; cyclo-; gyro-; loop; orb
ring; verge

專業解析

矩陣環（Matrix Ring）是抽象代數中重要的代數結構，指由固定階數的方陣構成的集合，并配備矩陣加法和乘法運算。以下從漢英詞典角度對其核心概念進行解析：

數學定義與符號表示
矩陣環通常記作 ( M_n(R) ) 或 ( text{Mat}(n, R) )，其中 ( R ) 表示基礎環（如整數環、實數域或複數域），( n ) 為矩陣的階數。該集合包含所有 ( n times n ) 元素取自 ( R ) 的矩陣，運算規則遵循矩陣加法（逐元素相加）和矩陣乘法（行乘列法則）。
環結構特征
矩陣環滿足環的公理化定義：
- 加法交換群：矩陣加法滿足交換律與結合律，零矩陣為加法單位元。
- 乘法結合性：矩陣乘法滿足結合律，但一般不滿足交換律（例如 ( n geq 2 ) 時 ( AB eq BA )）。
- 分配律：乘法對加法滿足左右分配律。
特殊性質與應用場景
- 非交換性：當 ( n geq 2 ) 時，矩陣環是非交換環，這一特性在量子力學和線性變換表示中具有重要意義。
- 理想結構：矩陣環的理想（如雙邊理想）與基礎環 ( R ) 的理想密切相關，常用于模論和表示論研究。
- 行列式與迹：矩陣環中的行列式映射 ( det: M_n(R) to R ) 和迹函數 ( text{tr}: M_n(R) to R ) 是重要的環同态工具。
經典參考文獻
- 書籍：《Abstract Algebra》 by David S. Dummit and Richard M. Foote（第3版，第7章）系統論述矩陣環的構造與性質。
- 線上資源：Springer MathWorld的"Matrix Ring"條目提供了公理化的定義與示例。

網絡擴展解釋

矩陣環是抽象代數中一類重要的非交換環，其核心結構由環上的矩陣集合及特定運算構成。以下從定義、運算、性質及應用等方面詳細說明：

一、定義與結構

矩陣環指由有單位元的環R上的所有n階方陣組成的集合，記作( M_n(R) )。該集合需滿足：

加法：矩陣逐元素相加，構成加法交換群；
乘法：遵循标準矩陣乘法規則，構成乘法半群；
分配律：乘法對加法滿足左右分配律。

當( n geq 2 )時，矩陣環通常是非交換環。

二、核心性質

非交換性：矩陣乘法一般不滿足交換律，例如存在矩陣( A,B in M_n(R) )使得( AB eq BA )。
存在零因子：非零矩陣相乘可能得到零矩陣。例如，若( A = begin{pmatrix}1&00&0end{pmatrix} )，( B = begin{pmatrix}0&00&1end{pmatrix} )，則( AB = 0 )。
單環性質：當( R )為域時，( M_n(R) )是單環（沒有非平凡雙邊理想）。

三、典型例子

實數矩陣環：( M_n(mathbb{R}) )表示所有n階實矩陣構成的環，其乘法單位元是單位矩陣( I_n )。
三角矩陣環：由上下三角矩陣構成的子環，例如( T_n(R) )，用于構造更複雜的環結構。

四、應用領域

矩陣環在表示論中尤為重要，可描述其他代數結構（如群、李代數）的線性表示。此外，它在編碼理論、量子力學及控制理論（如閉環系統設計）中也有廣泛應用。

提示：若需具體示例或深入某一性質，可參考上述來源中的數學推導。