鍊式法則英文解釋翻譯、鍊式法則的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 chain rule

分詞翻譯：

鍊式的英語翻譯：

【計】 chained mode

法則的英語翻譯：

law; theorem
【經】 law

專業解析

鍊式法則（Chain Rule）是微積分中用于求解複合函數導數的核心工具，其英文直譯為"chain rule of differentiation"。該法則描述了當函數由多個嵌套函數構成時，如何通過逐層分解的方式計算整體導數。

從數學定義來看，若存在複合函數$y = f(g(x))$，則其導數可表示為： $$ frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx} $$ 其中$u = g(x)$作為中間變量。這個公式揭示了複合函數導數等于外層函數導數與内層函數導數的乘積關系。

在工程領域，鍊式法則的實際應用尤為廣泛：

機械系統分析中，用于計算傳動鍊條的力傳遞效率
電路設計時，推導RC濾波器的頻率響應特性
機器學習領域，支撐反向傳播算法的梯度計算
化工流程建模，處理多級反應器的濃度變化關系
氣象預測模型，解析大氣參數的多維度關聯性

值得注意的進階形式是多元鍊式法則，適用于含多個變量的複合函數： $$ frac{partial z}{partial t} = frac{partial z}{partial x}frac{partial x}{partial t} + frac{partial z}{partial y}frac{partial y}{partial t} $$ 這種擴展形式在熱力學分析和流體力學建模中具有重要價值。

權威參考資料：

Khan Academy微積分課程：https://www.khanacademy.org/math/calculus-all-old
MIT OpenCourseWare 18.01SC單變量微積分：https://ocw.mit.edu/courses/mathematics
Wolfram MathWorld數學百科：https://mathworld.wolfram.com/ChainRule.html

網絡擴展解釋

鍊式法則是微積分中用于求複合函數導數的核心規則，其核心思想是将複雜函數的求導過程分解為多個簡單函數的導數乘積。

1. 定義與公式

若函數 ( y = f(g(x)) ) 由外層函數 ( f(u) ) 和内層函數 ( u = g(x) ) 複合而成，則其導數為： $$ frac{dy}{dx} = frac{df}{du} cdot frac{du}{dx} $$ 即外層函數對中間變量 ( u ) 的導數，乘以内層函數對 ( x ) 的導數。

2. 直觀理解

函數分解：将複合函數拆解為多個簡單函數（如 ( y = sin(x) ) 拆為 ( y = sin(u) ) 和 ( u = x )）。
分層求導：分别求外層函數和内層函數的導數，再相乘。例如：
- 外層導數：( cos(u) = cos(x) )
- 内層導數：( 2x )
- 最終導數：( cos(x) cdot 2x )

3. 多元函數推廣

對于多變量複合函數（如 ( z = f(x(t), y(t)) )），鍊式法則擴展為： $$ frac{dz}{dt} = frac{partial f}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial f}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$ 適用于依賴多個中間變量的場景。

4. 應用場景

物理學：計算運動軌迹的加速度時，速度作為位置的函數可能依賴時間。
機器學習：反向傳播算法中梯度計算依賴鍊式法則逐層傳遞誤差。
工程學：對嵌套關系（如電路響應、熱傳導）建模時分解複雜系統。

常見誤區提醒

遺漏中間變量導數：如直接對 ( sin(x) ) 求導寫為 ( cos(x) )（漏乘 ( 2x )）。
錯誤拆分函數層級：需明确外層和内層函數（例如 ( e^{x} ) 的外層是 ( e^u )，内層是 ( u = x )）。

通過分步拆解和分層計算，鍊式法則顯著簡化了複合函數的微分過程。