链式法则英文解释翻译、链式法则的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 chain rule

分词翻译：

链式的英语翻译：

【计】 chained mode

法则的英语翻译：

law; theorem
【经】 law

专业解析

链式法则（Chain Rule）是微积分中用于求解复合函数导数的核心工具，其英文直译为"chain rule of differentiation"。该法则描述了当函数由多个嵌套函数构成时，如何通过逐层分解的方式计算整体导数。

从数学定义来看，若存在复合函数$y = f(g(x))$，则其导数可表示为： $$ frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx} $$ 其中$u = g(x)$作为中间变量。这个公式揭示了复合函数导数等于外层函数导数与内层函数导数的乘积关系。

在工程领域，链式法则的实际应用尤为广泛：

机械系统分析中，用于计算传动链条的力传递效率
电路设计时，推导RC滤波器的频率响应特性
机器学习领域，支撑反向传播算法的梯度计算
化工流程建模，处理多级反应器的浓度变化关系
气象预测模型，解析大气参数的多维度关联性

值得注意的进阶形式是多元链式法则，适用于含多个变量的复合函数： $$ frac{partial z}{partial t} = frac{partial z}{partial x}frac{partial x}{partial t} + frac{partial z}{partial y}frac{partial y}{partial t} $$ 这种扩展形式在热力学分析和流体力学建模中具有重要价值。

权威参考资料：

Khan Academy微积分课程：https://www.khanacademy.org/math/calculus-all-old
MIT OpenCourseWare 18.01SC单变量微积分：https://ocw.mit.edu/courses/mathematics
Wolfram MathWorld数学百科：https://mathworld.wolfram.com/ChainRule.html

网络扩展解释

链式法则是微积分中用于求复合函数导数的核心规则，其核心思想是将复杂函数的求导过程分解为多个简单函数的导数乘积。

1. 定义与公式

若函数 ( y = f(g(x)) ) 由外层函数 ( f(u) ) 和内层函数 ( u = g(x) ) 复合而成，则其导数为： $$ frac{dy}{dx} = frac{df}{du} cdot frac{du}{dx} $$ 即外层函数对中间变量 ( u ) 的导数，乘以内层函数对 ( x ) 的导数。

2. 直观理解

函数分解：将复合函数拆解为多个简单函数（如 ( y = sin(x) ) 拆为 ( y = sin(u) ) 和 ( u = x )）。
分层求导：分别求外层函数和内层函数的导数，再相乘。例如：
- 外层导数：( cos(u) = cos(x) )
- 内层导数：( 2x )
- 最终导数：( cos(x) cdot 2x )

3. 多元函数推广

对于多变量复合函数（如 ( z = f(x(t), y(t)) )），链式法则扩展为： $$ frac{dz}{dt} = frac{partial f}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial f}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$ 适用于依赖多个中间变量的场景。

4. 应用场景

物理学：计算运动轨迹的加速度时，速度作为位置的函数可能依赖时间。
机器学习：反向传播算法中梯度计算依赖链式法则逐层传递误差。
工程学：对嵌套关系（如电路响应、热传导）建模时分解复杂系统。

常见误区提醒

遗漏中间变量导数：如直接对 ( sin(x) ) 求导写为 ( cos(x) )（漏乘 ( 2x )）。
错误拆分函数层级：需明确外层和内层函数（例如 ( e^{x} ) 的外层是 ( e^u )，内层是 ( u = x )）。

通过分步拆解和分层计算，链式法则显著简化了复合函数的微分过程。