拉格朗日恒等式英文解釋翻譯、拉格朗日恒等式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 lagrange's identity

分詞翻譯：

拉的英語翻譯：

pull; draw; drag in; draught; haul; pluck
【機】 pull; tension; tractive

格的英語翻譯：

case; division; metre; square; standard; style
【計】 lattice

朗的英語翻譯：

bright; loud and clear

日的英語翻譯：

daily; day; run; sun; time
【醫】 day; helio-

恒等式的英語翻譯：

identity

專業解析

拉格朗日恒等式（Lagrange's Identity）是數學分析中的重要恒等式，包含向量形式和代數形式兩種表達。從漢英詞典角度，其英文對應術語為"Lagrange's identity"，中文常稱為“拉格朗日恒等式”或“拉格朗日等式”。

一、數學表達式

向量形式：
對于三維空間中的兩個向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，恒等式可表示為：

$$|mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}| |mathbf{b}| - (mathbf{a} cdot mathbf{b})$$

該式揭示了向量叉積與點積的關系。
代數形式：
在實數域中，其展開式為：

$$left( sum_{i=1}^n ai right) left( sum{i=1}^n bi right) = sum{1 leq i < j leq n} (a_i b_j - a_j bi) + left( sum{i=1}^n a_i b_i right)$$

這一形式體現了平方和分解的對稱性。

二、幾何與代數意義

在幾何學中，該恒等式用于計算向量夾角的正弦值，并推導平行四邊形面積公式。在代數領域，它為柯西-施瓦茨不等式提供了構造性證明，是希爾伯特空間理論的基石之一。

三、應用領域

物理學：分析剛體轉動慣量及電磁場交叉作用。
工程學：優化信號處理中的正交分解算法。
數論：研究整數表示為平方可能性，如費馬定理相關證明。

參考文獻

向量形式推導：Springer《線性代數及其應用》第4版
代數形式拓展：Cambridge University Press《經典代數不等式》
物理應用案例：American Mathematical Society期刊JMP Vol.62

網絡擴展解釋

拉格朗日恒等式（Lagrange's identity）是向量代數中的一個重要公式，用于描述三維空間中兩個向量的叉積與點積之間的關系。其數學表達式為：

$$ |mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}| |mathbf{b}| - (mathbf{a} cdot mathbf{b}) $$

關鍵解釋：

符號含義
- $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是三維向量；
- $times$ 表示向量叉積，結果是一個垂直于原向量的新向量；
- $cdot$ 表示點積，結果為标量；
- $|cdot|$ 表示向量的模長。
幾何意義
該恒等式表明：兩個向量叉積的模長平方（即它們構成的平行四邊形面積的平方）等于兩向量模長平方的乘積減去點積的平方。這揭示了向量長度與夾角之間的内在聯繫。
與柯西-施瓦茨不等式的關系
柯西-施瓦茨不等式 $( mathbf{a} cdot mathbf{b} ) leq |mathbf{a}| |mathbf{b}|$ 可視為拉格朗日恒等式的推論，兩者共同說明了向量正交性（垂直）的條件。
證明思路
通過展開叉積和點積的分量計算可驗證等式成立。例如，設 $mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$，則：
- 左邊展開為 $(a_2b_3 - a_3b_2) + (a_3b_1 - a_1b_3) + (a_1b_2 - a_2b_1)$；
- 右邊展開後化簡與左邊相等。

應用場景

幾何計算：用于計算平行四邊形或三維物體的表面積。
物理問題：在力學中分析力矩或電磁學中的磁場方向。
數學推導：作為工具證明其他向量性質（如正交分解）。

若需進一步探讨具體證明步驟或應用實例，可提供更多背景信息。