拉格朗日恒等式英文解释翻译、拉格朗日恒等式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 lagrange's identity

分词翻译：

拉的英语翻译：

pull; draw; drag in; draught; haul; pluck
【机】 pull; tension; tractive

格的英语翻译：

case; division; metre; square; standard; style
【计】 lattice

朗的英语翻译：

bright; loud and clear

日的英语翻译：

daily; day; run; sun; time
【医】 day; helio-

恒等式的英语翻译：

identity

专业解析

拉格朗日恒等式（Lagrange's Identity）是数学分析中的重要恒等式，包含向量形式和代数形式两种表达。从汉英词典角度，其英文对应术语为"Lagrange's identity"，中文常称为“拉格朗日恒等式”或“拉格朗日等式”。

一、数学表达式

向量形式：
对于三维空间中的两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，恒等式可表示为：

$$|mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}| |mathbf{b}| - (mathbf{a} cdot mathbf{b})$$

该式揭示了向量叉积与点积的关系。
代数形式：
在实数域中，其展开式为：

$$left( sum_{i=1}^n ai right) left( sum{i=1}^n bi right) = sum{1 leq i < j leq n} (a_i b_j - a_j bi) + left( sum{i=1}^n a_i b_i right)$$

这一形式体现了平方和分解的对称性。

二、几何与代数意义

在几何学中，该恒等式用于计算向量夹角的正弦值，并推导平行四边形面积公式。在代数领域，它为柯西-施瓦茨不等式提供了构造性证明，是希尔伯特空间理论的基石之一。

三、应用领域

物理学：分析刚体转动惯量及电磁场交叉作用。
工程学：优化信号处理中的正交分解算法。
数论：研究整数表示为平方可能性，如费马定理相关证明。

参考文献

向量形式推导：Springer《线性代数及其应用》第4版
代数形式拓展：Cambridge University Press《经典代数不等式》
物理应用案例：American Mathematical Society期刊JMP Vol.62

网络扩展解释

拉格朗日恒等式（Lagrange's identity）是向量代数中的一个重要公式，用于描述三维空间中两个向量的叉积与点积之间的关系。其数学表达式为：

$$ |mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}| |mathbf{b}| - (mathbf{a} cdot mathbf{b}) $$

关键解释：

符号含义
- $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是三维向量；
- $times$ 表示向量叉积，结果是一个垂直于原向量的新向量；
- $cdot$ 表示点积，结果为标量；
- $|cdot|$ 表示向量的模长。
几何意义
该恒等式表明：两个向量叉积的模长平方（即它们构成的平行四边形面积的平方）等于两向量模长平方的乘积减去点积的平方。这揭示了向量长度与夹角之间的内在联系。
与柯西-施瓦茨不等式的关系
柯西-施瓦茨不等式 $( mathbf{a} cdot mathbf{b} ) leq |mathbf{a}| |mathbf{b}|$ 可视为拉格朗日恒等式的推论，两者共同说明了向量正交性（垂直）的条件。
证明思路
通过展开叉积和点积的分量计算可验证等式成立。例如，设 $mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则：
- 左边展开为 $(a_2b_3 - a_3b_2) + (a_3b_1 - a_1b_3) + (a_1b_2 - a_2b_1)$；
- 右边展开后化简与左边相等。

应用场景

几何计算：用于计算平行四边形或三维物体的表面积。
物理问题：在力学中分析力矩或电磁学中的磁场方向。
数学推导：作为工具证明其他向量性质（如正交分解）。

若需进一步探讨具体证明步骤或应用实例，可提供更多背景信息。