三重内積英文解釋翻譯、三重内積的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 triple scalar product

分詞翻譯：

三的英語翻譯：

three; several; many
【計】 tri
【化】 trimethano-; trimethoxy
【醫】 tri-

重的英語翻譯：

again; layer; repeat; scale; weight
【計】 repetitive group
【醫】 hyper-; weight; wt.

内積的英語翻譯：

【計】 inner product; scalar product

專業解析

三重内積（Triple Scalar Product），在向量代數中是一個核心概念，特指三個向量的特定組合運算，其結果是一個标量（Scalar）。以下從漢英詞典角度詳細解釋其含義、性質和應用：

一、定義與計算

三重内積通常定義為三個向量 (mathbf{a}), (mathbf{b}), (mathbf{c}) 的混合積，記作 (mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}))。其值等于這三個向量構成的平行六面體的有向體積。

計算公式：

[ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z b_x & b_y & b_z c_x & c_y & c_z end{vmatrix} ]

其中行列式展開後為：

[ a_x(b_y c_z - b_z c_y) - a_y(b_x c_z - b_z c_x) + a_z(b_x c_y - b_y c_x) ]

二、幾何意義

三重内積的絕對值表示以 (mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) 為鄰邊的平行六面體的體積。若結果為正值，說明三向量構成右手系；若為負值，則為左手系。

零值條件：當三重内積為零時，三向量共面（線性相關），幾何上表示它們無法“撐起”一個立體空間。

三、關鍵性質

輪換對稱性：
[ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = mathbf{b} cdot (mathbf{c} times mathbf{a}) = mathbf{c} cdot (mathbf{a} times mathbf{b}) ]

即三個向量的順序可輪換而不改變結果值。

标量結果：區别于向量積（結果仍為向量），三重内積的結果是标量，因此也稱為标量三重積（Scalar Triple Product）。

四、應用場景

物理學：計算力矩、角動量或電磁場中的通量密度（如洛倫茲力公式）。
工程學：分析剛體受力、流體力學中的渦量場。
計算機圖形學：判斷點是否在三維凸體内，或計算網格體積。

權威參考資料

David Griffiths《電動力學導論》：闡述三重積在電磁理論中的應用。
MIT線性代數課程講義：解析向量運算的幾何與代數本質。
Khan Academy向量課程：可視化三重積的幾何意義。
MathWorld标量三重積條目：提供嚴謹的數學定義與性質證明。
工程力學教材（如Hibbeler）：例證其在靜力學分析中的實際用途。

（注：因平台限制未提供直接鍊接，建議通過學術數據庫或出版社官網檢索上述來源。）

網絡擴展解釋

三重内積（也稱為标量三重積或混合積）是向量代數中的一種運算，涉及三個向量，其定義為三個向量的點積與叉積的組合，結果為一個标量。以下是詳細解釋：

1.定義

三重内積通常表示為三個向量 (mathbf{a})、(mathbf{b})、(mathbf{c}) 的運算：
[ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) ]
即先計算向量 (mathbf{b}) 和 (mathbf{c}) 的叉積 (mathbf{b} times mathbf{c})，再将結果與 (mathbf{a}) 作點積。

2.幾何意義

三重内積的絕對值等于這三個向量所張成的平行六面體體積。若結果為0，說明三個向量共面（線性相關）。

3.計算方式

假設三個向量分别為：
[ mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3),quad mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3),quad mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3) ]
則三重内積可通過行列式計算：
[ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 b_1 & b_2 & b_3 c_1 & c_2 & c_3 end{vmatrix} ]

4.主要性質

交換律特性：三重内積滿足輪換對稱性，即：
[ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = mathbf{b} cdot (mathbf{c} times mathbf{a}) = mathbf{c} cdot (mathbf{a} times mathbf{b}) ]
符號變化：交換任意兩個向量會改變結果的符號，例如：
[ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = -mathbf{a} cdot (mathbf{c} times mathbf{b}) ]

5.應用場景

體積計算：用于幾何中平行六面體或四面體體積的計算。
共面性判斷：若三重内積為0，可判定三個向量位于同一平面。
物理學：在力學中分析力矩或電磁學中計算磁場能量密度時可能用到。

三重内積通過結合點積和叉積，将三維向量的幾何關系轉化為标量值，是分析空間向量性質的重要工具。