三重内积英文解释翻译、三重内积的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 triple scalar product

分词翻译：

三的英语翻译：

three; several; many
【计】 tri
【化】 trimethano-; trimethoxy
【医】 tri-

重的英语翻译：

again; layer; repeat; scale; weight
【计】 repetitive group
【医】 hyper-; weight; wt.

内积的英语翻译：

【计】 inner product; scalar product

专业解析

三重内积（Triple Scalar Product），在向量代数中是一个核心概念，特指三个向量的特定组合运算，其结果是一个标量（Scalar）。以下从汉英词典角度详细解释其含义、性质和应用：

一、定义与计算

三重内积通常定义为三个向量 (mathbf{a}), (mathbf{b}), (mathbf{c}) 的混合积，记作 (mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}))。其值等于这三个向量构成的平行六面体的有向体积。

计算公式：

[ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z b_x & b_y & b_z c_x & c_y & c_z end{vmatrix} ]

其中行列式展开后为：

[ a_x(b_y c_z - b_z c_y) - a_y(b_x c_z - b_z c_x) + a_z(b_x c_y - b_y c_x) ]

二、几何意义

三重内积的绝对值表示以 (mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) 为邻边的平行六面体的体积。若结果为正值，说明三向量构成右手系；若为负值，则为左手系。

零值条件：当三重内积为零时，三向量共面（线性相关），几何上表示它们无法“撑起”一个立体空间。

三、关键性质

轮换对称性：
[ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = mathbf{b} cdot (mathbf{c} times mathbf{a}) = mathbf{c} cdot (mathbf{a} times mathbf{b}) ]

即三个向量的顺序可轮换而不改变结果值。

标量结果：区别于向量积（结果仍为向量），三重内积的结果是标量，因此也称为标量三重积（Scalar Triple Product）。

四、应用场景

物理学：计算力矩、角动量或电磁场中的通量密度（如洛伦兹力公式）。
工程学：分析刚体受力、流体力学中的涡量场。
计算机图形学：判断点是否在三维凸体内，或计算网格体积。

权威参考资料

David Griffiths《电动力学导论》：阐述三重积在电磁理论中的应用。
MIT线性代数课程讲义：解析向量运算的几何与代数本质。
Khan Academy向量课程：可视化三重积的几何意义。
MathWorld标量三重积条目：提供严谨的数学定义与性质证明。
工程力学教材（如Hibbeler）：例证其在静力学分析中的实际用途。

（注：因平台限制未提供直接链接，建议通过学术数据库或出版社官网检索上述来源。）

网络扩展解释

三重内积（也称为标量三重积或混合积）是向量代数中的一种运算，涉及三个向量，其定义为三个向量的点积与叉积的组合，结果为一个标量。以下是详细解释：

1.定义

三重内积通常表示为三个向量 (mathbf{a})、(mathbf{b})、(mathbf{c}) 的运算：
[ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) ]
即先计算向量 (mathbf{b}) 和 (mathbf{c}) 的叉积 (mathbf{b} times mathbf{c})，再将结果与 (mathbf{a}) 作点积。

2.几何意义

三重内积的绝对值等于这三个向量所张成的平行六面体体积。若结果为0，说明三个向量共面（线性相关）。

3.计算方式

假设三个向量分别为：
[ mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3),quad mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3),quad mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3) ]
则三重内积可通过行列式计算：
[ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 b_1 & b_2 & b_3 c_1 & c_2 & c_3 end{vmatrix} ]

4.主要性质

交换律特性：三重内积满足轮换对称性，即：
[ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = mathbf{b} cdot (mathbf{c} times mathbf{a}) = mathbf{c} cdot (mathbf{a} times mathbf{b}) ]
符号变化：交换任意两个向量会改变结果的符号，例如：
[ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = -mathbf{a} cdot (mathbf{c} times mathbf{b}) ]

5.应用场景

体积计算：用于几何中平行六面体或四面体体积的计算。
共面性判断：若三重内积为0，可判定三个向量位于同一平面。
物理学：在力学中分析力矩或电磁学中计算磁场能量密度时可能用到。

三重内积通过结合点积和叉积，将三维向量的几何关系转化为标量值，是分析空间向量性质的重要工具。