奇異值分解英文解釋翻譯、奇異值分解的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 singular value decomposition

分詞翻譯：

奇的英語翻譯：

astonish; odd; queer; rare; strange; surprise
【醫】 azygos

異的英語翻譯：

different; other; separate; strange; surprise
【計】 exclusive-OR
【醫】 allotrio-; heter-; hetero-; pecilo-; poecil-; poikilo-

值的英語翻譯：

cost; value; happen to; on duty
【醫】 number; titer; titre; value

專業解析

奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是線性代數中一種重要的矩陣分解方法，廣泛應用于信號處理、統計學、機器學習等領域。其核心思想是将任意實數或複數矩陣分解為三個特定結構的矩陣乘積，即：

$$ A = U Sigma V^* $$ 其中：

$U$ 是$m times m$的正交矩陣（左奇異向量）
$Sigma$ 是$m times n$的非負對角矩陣（奇異值降序排列）
*$V^$** 是$n times n$的正交矩陣的共轭轉置（右奇異向量）

核心特性與作用

數據降維與特征提取
奇異值$sigma_i$反映了矩陣$A$在不同方向上的能量分布，較大的奇異值對應數據的主成分。通過保留前$k$個奇異值，可實現數據壓縮與噪聲過濾。
廣義逆矩陣計算
SVD為病态矩陣（如低秩矩陣）提供穩定的僞逆解：

$$A^+ = V Sigma^+ U^T$$

這在最小二乘問題中具有重要應用。
跨學科應用實例

圖像壓縮（JPEG2000标準）
推薦系統（協同過濾算法）
自然語言處理（潛在語義分析LSA）

權威參考文獻

數學定義與幾何解釋：Gilbert Strang《線性代數及其應用》（MIT公開課教材）MIT Linear Algebra Lecture
工程應用案例：Golub & Van Loan《矩陣計算》Johns Hopkins Press
IEEE信號處理标準：IEEE《矩陣分解在信號處理中的應用》IEEE Xplore

注：實際引用時需替換為具體文獻的DOI或有效論文鍊接。

網絡擴展解釋

奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是線性代數中一種重要的矩陣分解方法，廣泛應用于數據降維、信號處理和機器學習等領域。以下是詳細解釋：

1.定義與數學形式

SVD将一個任意形狀的實數或複數矩陣 ( A )（大小為 ( m times n )）分解為三個特定矩陣的乘積： $$ A = U Sigma V^T $$

( U )：( m times m ) 的正交矩陣，其列向量稱為左奇異向量。
( Sigma )：( m times n ) 的對角矩陣，對角線元素為非負實數 ( sigma_1 geq sigma_2 geq dots geq sigma_p geq 0 )（( p = min(m,n) )），稱為奇異值。
( V^T )：( n times n ) 的正交矩陣，其行向量稱為右奇異向量。

2.幾何意義

SVD揭示了矩陣的幾何結構：

左/右奇異向量：分别表示輸入空間和輸出空間的正交基。
奇異值：表示矩陣在這些基方向上的“縮放因子”。較大的奇異值對應更重要的數據特征。

3.關鍵性質

降維與低秩近似：保留前 ( k ) 個最大的奇異值（丢棄較小的），可得到矩陣的最佳低秩近似： $$ A_k = U_k Sigma_k V_k^T $$ 適用于壓縮數據或去噪。
穩定性：奇異值對矩陣擾動不敏感，適合處理含噪聲數據。
與特征值分解的關系：SVD適用于任意矩陣，而特征值分解僅適用于方陣。

4.主要應用

主成分分析（PCA）：通過S降維提取數據主要特征。
圖像壓縮：用少量奇異值近似表示圖像（如保留前10%的奇異值）。
推薦系統：分解用戶-物品評分矩陣，預測缺失值。
自然語言處理：潛在語義分析（LSA）中用于詞向量降維。

5.計算示例

假設矩陣 ( A ) 的SVD為： $$ A = begin{bmatrix} 1 & 23 & 4 end{bmatrix}, quad U = begin{bmatrix} -0.40 & -0.91-0.91 & 0.40 end{bmatrix}, quad Sigma = begin{bmatrix} 5.46 & 00 & 0.37 end{bmatrix}, quad V^T = begin{bmatrix} -0.58 & -0.81-0.81 & 0.58 end{bmatrix} $$ 保留最大奇異值 ( 5.46 )，可得近似矩陣 ( A_1 approx U_1 Sigma_1 V_1^T )，實現數據簡化。

SVD通過揭示矩陣的“本質維度”，為高維數據分析提供了高效的數學工具。其核心思想是将複雜結構拆解為可解釋的基向量和縮放因子，廣泛應用于科學與工程領域。