奇异值分解英文解释翻译、奇异值分解的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 singular value decomposition

分词翻译：

奇的英语翻译：

astonish; odd; queer; rare; strange; surprise
【医】 azygos

异的英语翻译：

different; other; separate; strange; surprise
【计】 exclusive-OR
【医】 allotrio-; heter-; hetero-; pecilo-; poecil-; poikilo-

值的英语翻译：

cost; value; happen to; on duty
【医】 number; titer; titre; value

专业解析

奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，广泛应用于信号处理、统计学、机器学习等领域。其核心思想是将任意实数或复数矩阵分解为三个特定结构的矩阵乘积，即：

$$ A = U Sigma V^* $$ 其中：

$U$ 是$m times m$的正交矩阵（左奇异向量）
$Sigma$ 是$m times n$的非负对角矩阵（奇异值降序排列）
*$V^$** 是$n times n$的正交矩阵的共轭转置（右奇异向量）

核心特性与作用

数据降维与特征提取
奇异值$sigma_i$反映了矩阵$A$在不同方向上的能量分布，较大的奇异值对应数据的主成分。通过保留前$k$个奇异值，可实现数据压缩与噪声过滤。
广义逆矩阵计算
SVD为病态矩阵（如低秩矩阵）提供稳定的伪逆解：

$$A^+ = V Sigma^+ U^T$$

这在最小二乘问题中具有重要应用。
跨学科应用实例

图像压缩（JPEG2000标准）
推荐系统（协同过滤算法）
自然语言处理（潜在语义分析LSA）

权威参考文献

数学定义与几何解释：Gilbert Strang《线性代数及其应用》（MIT公开课教材）MIT Linear Algebra Lecture
工程应用案例：Golub & Van Loan《矩阵计算》Johns Hopkins Press
IEEE信号处理标准：IEEE《矩阵分解在信号处理中的应用》IEEE Xplore

注：实际引用时需替换为具体文献的DOI或有效论文链接。

网络扩展解释

奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，广泛应用于数据降维、信号处理和机器学习等领域。以下是详细解释：

1.定义与数学形式

SVD将一个任意形状的实数或复数矩阵 ( A )（大小为 ( m times n )）分解为三个特定矩阵的乘积： $$ A = U Sigma V^T $$

( U )：( m times m ) 的正交矩阵，其列向量称为左奇异向量。
( Sigma )：( m times n ) 的对角矩阵，对角线元素为非负实数 ( sigma_1 geq sigma_2 geq dots geq sigma_p geq 0 )（( p = min(m,n) )），称为奇异值。
( V^T )：( n times n ) 的正交矩阵，其行向量称为右奇异向量。

2.几何意义

SVD揭示了矩阵的几何结构：

左/右奇异向量：分别表示输入空间和输出空间的正交基。
奇异值：表示矩阵在这些基方向上的“缩放因子”。较大的奇异值对应更重要的数据特征。

3.关键性质

降维与低秩近似：保留前 ( k ) 个最大的奇异值（丢弃较小的），可得到矩阵的最佳低秩近似： $$ A_k = U_k Sigma_k V_k^T $$ 适用于压缩数据或去噪。
稳定性：奇异值对矩阵扰动不敏感，适合处理含噪声数据。
与特征值分解的关系：SVD适用于任意矩阵，而特征值分解仅适用于方阵。

4.主要应用

主成分分析（PCA）：通过S降维提取数据主要特征。
图像压缩：用少量奇异值近似表示图像（如保留前10%的奇异值）。
推荐系统：分解用户-物品评分矩阵，预测缺失值。
自然语言处理：潜在语义分析（LSA）中用于词向量降维。

5.计算示例

假设矩阵 ( A ) 的SVD为： $$ A = begin{bmatrix} 1 & 23 & 4 end{bmatrix}, quad U = begin{bmatrix} -0.40 & -0.91-0.91 & 0.40 end{bmatrix}, quad Sigma = begin{bmatrix} 5.46 & 00 & 0.37 end{bmatrix}, quad V^T = begin{bmatrix} -0.58 & -0.81-0.81 & 0.58 end{bmatrix} $$ 保留最大奇异值 ( 5.46 )，可得近似矩阵 ( A_1 approx U_1 Sigma_1 V_1^T )，实现数据简化。

SVD通过揭示矩阵的“本质维度”，为高维数据分析提供了高效的数学工具。其核心思想是将复杂结构拆解为可解释的基向量和缩放因子，广泛应用于科学与工程领域。