平面分離定理英文解釋翻譯、平面分離定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 planar separator theorem

分詞翻譯：

平面的英語翻譯：

flat; plane; surface
【醫】 flat; plane; planum

分離的英語翻譯：

part; detach; dispart; dissociate; divorce from; secede; segregate; split
【計】 decatenation; deconcatenation; decouple; kick-off; kick-out
【化】 isolation; segregation; separation
【醫】 abruptio; ap-; aphoresis; apo-; chorisis; detachment; dia-; diaeresis
diastasis; disassociation; disconnect; dissociation; divarication
isolate; isolation; segregation; separation; sequester; sequestration
solution; sublatio; sublation
【經】 separate

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

平面分離定理（Plane Separation Theorem）是歐氏幾何中的基礎性原理，其核心内容可概括為：給定平面上任意一條直線，該直線将平面劃分為兩個互不相交的凸區域，稱為半平面（Half-Plane）。以下從定義、數學性質及應用場景三方面展開說明：

定義與幾何意義
該定理表明，若直線$L$位于平面$mathbb{R}$中，則平面可被分解為三個互不相交的子集：$L$自身、以及兩個開半平面$H^+$和$H^-$。任何連接$H^+$與$H^-$内兩點的線段必與$L$相交。這一性質在凸集理論和計算幾何中具有關鍵作用。
數學嚴格表述
設直線$L$由方程$ax + by + c = 0$定義，則兩個半平面可表示為：

$$ H^+ = { (x,y) in mathbb{R} mid ax + by + c > 0 } H^- = { (x,y) in mathbb{R} mid ax + by + c < 0 } $$ 其中$H^+$與$H^-$均為凸集，且滿足$H^+ cup H^- cup L = mathbb{R}$。
應用領域
- 計算機圖形學：用于多邊形裁剪算法，如Cohen-Sutherland線段裁剪。
- 運籌學：在凸優化問題中判定可行解區域邊界。
- 機器人路徑規劃：通過半平面交集描述障礙物規避空間。

參考文獻

Hilbert, D. Foundations of Geometry (Chapter III, Axioms of Order), 1899.
Munkres, J.R. Topology: A First Course (Section 2.5), Prentice Hall, 1975.

網絡擴展解釋

平面分離定理（Hyperplane Separation Theorem）是凸分析和優化理論中的核心定理，主要用于描述兩個凸集在特定條件下的幾何分隔關系。以下從多個維度詳細解釋其含義：

一、核心定義

平面分離定理指出：若兩個非空凸集( S_1 )和( S_2 )在( mathbb{R}^n )空間中無共同内點，則存在一個超平面( H = {x in mathbb{R}^n | p^T x = alpha } )，使得：

對于所有( x in S_1 )，滿足( p^T x geq alpha )；
對于所有( x in S_2 )，滿足( p^T x leq alpha )。

其中( p )為非零向量（法向量），( alpha )為實數，稱為分離平面的偏移量。

二、分類與嚴格性

非嚴格分離：當( S_1 )和( S_2 )存在邊界接觸時，超平面可能同時包含兩者的部分點（即等號成立）。
嚴格分離：若兩凸集不交且至少有一個是緊集（閉且有界），則存在超平面使得不等式嚴格成立（如( p^T x > alpha )對( S_1 )，( p^T x < alpha )對( S_2 )）。

三、幾何解釋

以原點與凸集分離為例（見引理1）：

若凸集( R )不包含原點，可通過找到( R )中距離原點最近的點( x_0 )，構造超平面( x_0^T x = frac{1}{2} x_0^T x_0 )，實現原點與( R )的嚴格分離。

四、應用場景

優化理論：證明最優解存在性，例如在約束優化中分離可行域與目标集。
機器學習：支持向量機（SVM）利用超平面最大化分類間隔。
經濟學：分離生産集與消費集以确定均衡價格。

五、數學表達示例

嚴格分離條件可寫作： $$ begin{cases} p^T x > alpha, & forall x in S_1 p^T x < alpha, & forall x in S_2 end{cases} $$

六、注意事項

凸性前提：定理僅適用于凸集，非凸集合可能無法分離。
無限維擴展：在希爾伯特空間中，定理需附加閉合性條件。

該定理通過幾何直觀揭示了凸集之間的可分性，為多領域提供了理論基礎。如需進一步了解證明細節，可參考凸分析教材或優化理論文獻。