平面分离定理英文解释翻译、平面分离定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 planar separator theorem

分词翻译：

平面的英语翻译：

flat; plane; surface
【医】 flat; plane; planum

分离的英语翻译：

part; detach; dispart; dissociate; divorce from; secede; segregate; split
【计】 decatenation; deconcatenation; decouple; kick-off; kick-out
【化】 isolation; segregation; separation
【医】 abruptio; ap-; aphoresis; apo-; chorisis; detachment; dia-; diaeresis
diastasis; disassociation; disconnect; dissociation; divarication
isolate; isolation; segregation; separation; sequester; sequestration
solution; sublatio; sublation
【经】 separate

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

平面分离定理（Plane Separation Theorem）是欧氏几何中的基础性原理，其核心内容可概括为：给定平面上任意一条直线，该直线将平面划分为两个互不相交的凸区域，称为半平面（Half-Plane）。以下从定义、数学性质及应用场景三方面展开说明：

定义与几何意义
该定理表明，若直线$L$位于平面$mathbb{R}$中，则平面可被分解为三个互不相交的子集：$L$自身、以及两个开半平面$H^+$和$H^-$。任何连接$H^+$与$H^-$内两点的线段必与$L$相交。这一性质在凸集理论和计算几何中具有关键作用。
数学严格表述
设直线$L$由方程$ax + by + c = 0$定义，则两个半平面可表示为：

$$ H^+ = { (x,y) in mathbb{R} mid ax + by + c > 0 } H^- = { (x,y) in mathbb{R} mid ax + by + c < 0 } $$ 其中$H^+$与$H^-$均为凸集，且满足$H^+ cup H^- cup L = mathbb{R}$。
应用领域
- 计算机图形学：用于多边形裁剪算法，如Cohen-Sutherland线段裁剪。
- 运筹学：在凸优化问题中判定可行解区域边界。
- 机器人路径规划：通过半平面交集描述障碍物规避空间。

参考文献

Hilbert, D. Foundations of Geometry (Chapter III, Axioms of Order), 1899.
Munkres, J.R. Topology: A First Course (Section 2.5), Prentice Hall, 1975.

网络扩展解释

平面分离定理（Hyperplane Separation Theorem）是凸分析和优化理论中的核心定理，主要用于描述两个凸集在特定条件下的几何分隔关系。以下从多个维度详细解释其含义：

一、核心定义

平面分离定理指出：若两个非空凸集( S_1 )和( S_2 )在( mathbb{R}^n )空间中无共同内点，则存在一个超平面( H = {x in mathbb{R}^n | p^T x = alpha } )，使得：

对于所有( x in S_1 )，满足( p^T x geq alpha )；
对于所有( x in S_2 )，满足( p^T x leq alpha )。

其中( p )为非零向量（法向量），( alpha )为实数，称为分离平面的偏移量。

二、分类与严格性

非严格分离：当( S_1 )和( S_2 )存在边界接触时，超平面可能同时包含两者的部分点（即等号成立）。
严格分离：若两凸集不交且至少有一个是紧集（闭且有界），则存在超平面使得不等式严格成立（如( p^T x > alpha )对( S_1 )，( p^T x < alpha )对( S_2 )）。

三、几何解释

以原点与凸集分离为例（见引理1）：

若凸集( R )不包含原点，可通过找到( R )中距离原点最近的点( x_0 )，构造超平面( x_0^T x = frac{1}{2} x_0^T x_0 )，实现原点与( R )的严格分离。

四、应用场景

优化理论：证明最优解存在性，例如在约束优化中分离可行域与目标集。
机器学习：支持向量机（SVM）利用超平面最大化分类间隔。
经济学：分离生产集与消费集以确定均衡价格。

五、数学表达示例

严格分离条件可写作： $$ begin{cases} p^T x > alpha, & forall x in S_1 p^T x < alpha, & forall x in S_2 end{cases} $$

六、注意事项

凸性前提：定理仅适用于凸集，非凸集合可能无法分离。
无限维扩展：在希尔伯特空间中，定理需附加闭合性条件。

该定理通过几何直观揭示了凸集之间的可分性，为多领域提供了理论基础。如需进一步了解证明细节，可参考凸分析教材或优化理论文献。