隨機向量英文解釋翻譯、隨機向量的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 random vector

分詞翻譯：

隨的英語翻譯：

adapt to; along with; follow; let

機的英語翻譯：

chance; crucial point; engine; machine; occasion; organic; pivot; plane
flexible
【醫】 machine

向量的英語翻譯：

vector
【計】 V; vector quantity
【醫】 vector; vector quantity

專業解析

隨機向量的定義與核心概念

隨機向量（Random Vector）是概率論與統計學中的基礎概念，指由多個隨機變量按固定順序組成的向量。其數學定義為：

設 (X_1, X_2, ldots, X_n) 是定義在同一概率空間 ((Omega, mathcal{F}, P)) 上的隨機變量，則稱 (mathbf{X} = (X_1, X_2, ldots, X_n)^T) 為一個 (n) 維隨機向量。

關鍵特征

多維性
隨機向量擴展了單一隨機變量的概念，可同時描述多維隨機現象（如物體空間坐标、多指标經濟數據）。
聯合分布
其統計特性由聯合分布函數（Joint Distribution Function）決定：

$$ F_{mathbf{X}}(mathbf{x}) = P(X_1 leq x_1, X_2 leq x_2, ldots, X_n leq x_n) $$

其中 (mathbf{x} = (x_1, x_2, ldots, x_n))。
數字特征
- 均值向量：(boldsymbol{mu} = E[mathbf{X}] = (E[X_1], E[X_2], ldots, E[X_n])^T)
- 協方差矩陣：(boldsymbol{Sigma} = text{Cov}(mathbf{X}) = E[(mathbf{X} - boldsymbol{mu})(mathbf{X} - boldsymbol{mu})^T])，用于量化分量間的線性相關性。

應用場景

統計建模
在多元統計分析中，隨機向量用于構建回歸模型（如線性回歸 (mathbf{Y} = mathbf{X}boldsymbol{beta} + boldsymbol{varepsilon})) 和假設檢驗。

機器學習
作為數據集的基本表示形式，例如特征向量 (mathbf{x}_i in mathbb{R}^d) 對應樣本的 (d) 維屬性。

信號處理
時間序列信號可表示為隨機向量 (mathbf{X}t = (X{t}, X{t-1}, ldots, X{t-k})^T)，用于濾波與預測。

權威參考文獻

定義與理論基礎：
- Probability and Statistical Inference (Hogg et al., 2019), 第7章.
- 普林斯頓大學"概率論"公開課講義.
應用實例：
- The Elements of Statistical Learning (Hastie et al., Springer, 2009), 第3.2節.
數學工具拓展：
- MIT線性代數課程筆記"協方差矩陣的性質".

說明：文獻來源基于經典教材與公開學術資源，鍊接因平台限制未展示，可依據文獻名稱檢索原文。

網絡擴展解釋

隨機向量是概率論與統計學中的核心概念，指由多個隨機變量組成的向量，常用于描述多維隨機現象。以下是詳細解釋：

1.定義

隨機向量是一個有序的隨機變量集合，形式為 (mathbf{X} = (X_1, X_2, ldots, X_n))，其中每個分量 (X_i) 都是定義在同一概率空間上的隨機變量。例如，描述一個人的身高、體重和年齡時，這三個指标可構成一個三維隨機向量。

2.概率分布

聯合分布：所有分量的聯合概率分布（如聯合概率密度函數或累積分布函數）完整刻畫了隨機向量的統計特性。例如，二元正态分布的聯合密度函數為： $$ f(mathbf{x}) = frac{1}{2pisqrt{sigma_1sigma_2(1-rho)}} expleft(-frac{1}{2(1-rho)}left[frac{(x_1-mu_1)}{sigma_1} - 2rhofrac{(x_1-mu_1)(x_2-mu_2)}{sigma_1sigma_2} + frac{(x_2-mu_2)}{sigma_2}right]right) $$
邊緣分布：單個分量的分布稱為邊緣分布，例如從三維向量中提取身高對應的分布。

3.數字特征

均值向量：(boldsymbol{mu} = (mathbb{E}[X_1], mathbb{E}[X_2], ldots, mathbb{E}[X_n]))。
協方差矩陣：(mathbf{Sigma})，其中元素 (Sigma_{ij} = text{Cov}(X_i, X_j))，反映分量間的線性相關性。
相關系數矩陣：标準化後的協方差矩陣，元素為 (rho_{ij} = frac{text{Cov}(X_i, X_j)}{sigma_isigma_j})。

4.獨立性

若各分量獨立，聯合分布可分解為邊緣分布的乘積：(f(mathbf{x}) = f_{X_1}(x1) cdot f{X_2}(x2) cdot ldots cdot f{X_n}(x_n))。獨立性簡化了分析，但實際中分量常存在相關性（如氣溫與降水量）。

5.應用領域

機器學習：數據樣本的特征向量（如像素值、文本詞頻）建模為隨機向量。
金融工程：資産收益率構成隨機向量，用于投資組合風險分析。
信號處理：多通道信號（如腦電圖）通過隨機向量建模相關性。

示例說明

假設研究某地區氣候，用隨機向量 (mathbf{X} = (text{溫度}, text{濕度}, text{風速})) 描述天氣狀态。協方差矩陣可能顯示溫度與濕度負相關（高溫幹燥），而均值向量反映該地區的平均氣候條件。