随机向量英文解释翻译、随机向量的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 random vector

分词翻译：

随的英语翻译：

adapt to; along with; follow; let

机的英语翻译：

chance; crucial point; engine; machine; occasion; organic; pivot; plane
flexible
【医】 machine

向量的英语翻译：

vector
【计】 V; vector quantity
【医】 vector; vector quantity

专业解析

随机向量的定义与核心概念

随机向量（Random Vector）是概率论与统计学中的基础概念，指由多个随机变量按固定顺序组成的向量。其数学定义为：

设 (X_1, X_2, ldots, X_n) 是定义在同一概率空间 ((Omega, mathcal{F}, P)) 上的随机变量，则称 (mathbf{X} = (X_1, X_2, ldots, X_n)^T) 为一个 (n) 维随机向量。

关键特征

多维性
随机向量扩展了单一随机变量的概念，可同时描述多维随机现象（如物体空间坐标、多指标经济数据）。
联合分布
其统计特性由联合分布函数（Joint Distribution Function）决定：

$$ F_{mathbf{X}}(mathbf{x}) = P(X_1 leq x_1, X_2 leq x_2, ldots, X_n leq x_n) $$

其中 (mathbf{x} = (x_1, x_2, ldots, x_n))。
数字特征
- 均值向量：(boldsymbol{mu} = E[mathbf{X}] = (E[X_1], E[X_2], ldots, E[X_n])^T)
- 协方差矩阵：(boldsymbol{Sigma} = text{Cov}(mathbf{X}) = E[(mathbf{X} - boldsymbol{mu})(mathbf{X} - boldsymbol{mu})^T])，用于量化分量间的线性相关性。

应用场景

统计建模
在多元统计分析中，随机向量用于构建回归模型（如线性回归 (mathbf{Y} = mathbf{X}boldsymbol{beta} + boldsymbol{varepsilon})) 和假设检验。

机器学习
作为数据集的基本表示形式，例如特征向量 (mathbf{x}_i in mathbb{R}^d) 对应样本的 (d) 维属性。

信号处理
时间序列信号可表示为随机向量 (mathbf{X}t = (X{t}, X{t-1}, ldots, X{t-k})^T)，用于滤波与预测。

权威参考文献

定义与理论基础：
- Probability and Statistical Inference (Hogg et al., 2019), 第7章.
- 普林斯顿大学"概率论"公开课讲义.
应用实例：
- The Elements of Statistical Learning (Hastie et al., Springer, 2009), 第3.2节.
数学工具拓展：
- MIT线性代数课程笔记"协方差矩阵的性质".

说明：文献来源基于经典教材与公开学术资源，链接因平台限制未展示，可依据文献名称检索原文。

网络扩展解释

随机向量是概率论与统计学中的核心概念，指由多个随机变量组成的向量，常用于描述多维随机现象。以下是详细解释：

1.定义

随机向量是一个有序的随机变量集合，形式为 (mathbf{X} = (X_1, X_2, ldots, X_n))，其中每个分量 (X_i) 都是定义在同一概率空间上的随机变量。例如，描述一个人的身高、体重和年龄时，这三个指标可构成一个三维随机向量。

2.概率分布

联合分布：所有分量的联合概率分布（如联合概率密度函数或累积分布函数）完整刻画了随机向量的统计特性。例如，二元正态分布的联合密度函数为： $$ f(mathbf{x}) = frac{1}{2pisqrt{sigma_1sigma_2(1-rho)}} expleft(-frac{1}{2(1-rho)}left[frac{(x_1-mu_1)}{sigma_1} - 2rhofrac{(x_1-mu_1)(x_2-mu_2)}{sigma_1sigma_2} + frac{(x_2-mu_2)}{sigma_2}right]right) $$
边缘分布：单个分量的分布称为边缘分布，例如从三维向量中提取身高对应的分布。

3.数字特征

均值向量：(boldsymbol{mu} = (mathbb{E}[X_1], mathbb{E}[X_2], ldots, mathbb{E}[X_n]))。
协方差矩阵：(mathbf{Sigma})，其中元素 (Sigma_{ij} = text{Cov}(X_i, X_j))，反映分量间的线性相关性。
相关系数矩阵：标准化后的协方差矩阵，元素为 (rho_{ij} = frac{text{Cov}(X_i, X_j)}{sigma_isigma_j})。

4.独立性

若各分量独立，联合分布可分解为边缘分布的乘积：(f(mathbf{x}) = f_{X_1}(x1) cdot f{X_2}(x2) cdot ldots cdot f{X_n}(x_n))。独立性简化了分析，但实际中分量常存在相关性（如气温与降水量）。

5.应用领域

机器学习：数据样本的特征向量（如像素值、文本词频）建模为随机向量。
金融工程：资产收益率构成随机向量，用于投资组合风险分析。
信号处理：多通道信号（如脑电图）通过随机向量建模相关性。

示例说明

假设研究某地区气候，用随机向量 (mathbf{X} = (text{温度}, text{湿度}, text{风速})) 描述天气状态。协方差矩阵可能显示温度与湿度负相关（高温干燥），而均值向量反映该地区的平均气候条件。