雙線性積分型英文解釋翻譯、雙線性積分型的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 bilinear integral form

crewel
【電】 twin line; twin wire

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【醫】 product

【醫】 grouping; typing

雙線性積分型（Bilinear Integral Form）是泛函分析與積分方程理論中的核心概念，指一種通過積分定義的、關于兩個函數均為線性的數學表達式。其标準形式可表示為：

$$ B(x, y) = int_a^b int_c^d K(s, t) , x(s) , y(t) , ds , dt $$

其中：

( x(s) ) 和 ( y(t) ) 是定義在區間 ([a, b]) 和 ([c, d]) 上的函數；
( K(s, t) ) 稱為積分核（Integral Kernel），是二元函數；
雙線性體現為：當固定 ( y(t) ) 時，( B(x, y) ) 關于 ( x(s) ) 是線性泛函；固定 ( x(s) ) 時，關于 ( y(t) ) 線性。

對稱性與正定性
若核 ( K(s, t) = K(t, s) ) 且滿足 ( B(x, x) geq 0 )，則稱其為對稱正定雙線性型。此類形式在微分方程求解中起關鍵作用，例如通過變分法将微分問題轉化為積分形式。
算子理論中的表示
在希爾伯特空間（Hilbert Space）中，雙線性積分型可關聯有界線性算子 ( T )，滿足 ( langle Tx, y rangle = B(x, y) )。這一性質為積分方程的譜分析提供基礎。
物理與工程應用
在量子力學中，此類形式描述粒子間相互作用能；在控制系統理論中，用于表征輸入-輸出系統的能量傳遞模型。

《泛函分析》（Functional Analysis） by Walter Rudin
詳細讨論了雙線性形式與算子理論的關系（章節：Hilbert Space Operators）。

Encyclopedia of Mathematics（數學百科全書）
"Bilinear form" 與 "Integral operator" 條目提供嚴格定義及擴展閱讀。

注：因術語高度專業化，建議結合經典教材與學術數據庫（如SpringerLink、JSTOR）獲取完整推導。具體鍊接需查閱相關文獻庫，此處僅标注來源名稱。

“雙線性積分型”是數學或計算機科學中的術語，其英文翻譯為bilinear integral form。以下是詳細解釋：

雙線性（Bilinear）：指對兩個變量分别保持線性的性質。例如，對于函數 ( B(u, v) )，若對任意标量 ( a, b )，滿足： $$ B(au_1 + bu_2, v) = aB(u_1, v) + bB(u_2, v), B(u, av_1 + bv_2) = aB(u, v_1) + bB(u, v_2). $$
積分型（Integral Form）：表示通過積分表達的結構，例如涉及函數乘積的積分，如 ( int K(x,y)u(x)v(y)dxdy )。

假設在區域 ( Omega ) 上定義雙線性積分型： $$ B(u, v) = int_Omega abla u cdot abla v , dx, $$ 這表示兩個函數梯度的點乘積分，常見于偏微分方程的弱形式推導中。

如果需要更具體的數學背景或應用實例，建議參考權威數學工具書或相關領域文獻。