双线性积分型英文解释翻译、双线性积分型的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 bilinear integral form

crewel
【电】 twin line; twin wire

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【医】 product

【医】 grouping; typing

双线性积分型（Bilinear Integral Form）是泛函分析与积分方程理论中的核心概念，指一种通过积分定义的、关于两个函数均为线性的数学表达式。其标准形式可表示为：

$$ B(x, y) = int_a^b int_c^d K(s, t) , x(s) , y(t) , ds , dt $$

其中：

( x(s) ) 和 ( y(t) ) 是定义在区间 ([a, b]) 和 ([c, d]) 上的函数；
( K(s, t) ) 称为积分核（Integral Kernel），是二元函数；
双线性体现为：当固定 ( y(t) ) 时，( B(x, y) ) 关于 ( x(s) ) 是线性泛函；固定 ( x(s) ) 时，关于 ( y(t) ) 线性。

对称性与正定性
若核 ( K(s, t) = K(t, s) ) 且满足 ( B(x, x) geq 0 )，则称其为对称正定双线性型。此类形式在微分方程求解中起关键作用，例如通过变分法将微分问题转化为积分形式。
算子理论中的表示
在希尔伯特空间（Hilbert Space）中，双线性积分型可关联有界线性算子 ( T )，满足 ( langle Tx, y rangle = B(x, y) )。这一性质为积分方程的谱分析提供基础。
物理与工程应用
在量子力学中，此类形式描述粒子间相互作用能；在控制系统理论中，用于表征输入-输出系统的能量传递模型。

《泛函分析》（Functional Analysis） by Walter Rudin
详细讨论了双线性形式与算子理论的关系（章节：Hilbert Space Operators）。

Encyclopedia of Mathematics（数学百科全书）
"Bilinear form" 与 "Integral operator" 条目提供严格定义及扩展阅读。

注：因术语高度专业化，建议结合经典教材与学术数据库（如SpringerLink、JSTOR）获取完整推导。具体链接需查阅相关文献库，此处仅标注来源名称。

“双线性积分型”是数学或计算机科学中的术语，其英文翻译为bilinear integral form。以下是详细解释：

双线性（Bilinear）：指对两个变量分别保持线性的性质。例如，对于函数 ( B(u, v) )，若对任意标量 ( a, b )，满足： $$ B(au_1 + bu_2, v) = aB(u_1, v) + bB(u_2, v), B(u, av_1 + bv_2) = aB(u, v_1) + bB(u, v_2). $$
积分型（Integral Form）：表示通过积分表达的结构，例如涉及函数乘积的积分，如 ( int K(x,y)u(x)v(y)dxdy )。

假设在区域 ( Omega ) 上定义双线性积分型： $$ B(u, v) = int_Omega abla u cdot abla v , dx, $$ 这表示两个函数梯度的点乘积分，常见于偏微分方程的弱形式推导中。

如果需要更具体的数学背景或应用实例，建议参考权威数学工具书或相关领域文献。