同态的英文解釋翻譯、同态的的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 homomorphic

分詞翻譯：

同态的英語翻譯：

【計】 homomorphism
【化】 homeomorphism; homomorphism

專業解析

在數學與計算機科學領域，"同态的"（Homomorphic）指兩個代數結構（如群、環、域）之間保持運算關系的映射。若結構A到結構B的映射f滿足對任意元素a,b和運算，均有f(ab) = f(a) * f(b)，則稱f為同态映射。該概念在密碼學中尤為重要，例如同态加密允許對密文直接運算，解密後結果與對明文進行相同運算一緻，為隱私計算提供理論基礎。

一、核心定義與數學表達

設代數結構 ((G, cdot)) 與 ((H, circ))，映射 (f: G to H) 若滿足： $$ forall a,b in G, quad f(a cdot b) = f(a) circ f(b) $$ 則稱 (f) 為同态映射。例如整數加法群到模n加法群的映射 (f(x) = x mod n) 是同态，因 (f(a+b) = (a+b) mod n = (a mod n) + (b mod n) = f(a) + f(b))。

二、分類與應用場景

群同态（Group Homomorphism）
保持群運算的映射，如線性變換 (f: mathbb{R}^n to mathbb{R}^m) 滿足 (f(mathbf{x} + mathbf{y}) = f(mathbf{x}) + f(mathbf{y}))。
環同态（Ring Homomorphism）
需同時保持加法與乘法運算，例如複數共轭映射 (z mapsto bar{z}) 滿足 (overline{z_1 + z_2} = bar{z_1} + bar{z_2}) 和 (overline{z_1 z_2} = bar{z_1} cdot bar{z_2})。
同态加密（Homomorphic Encryption）
密碼學方案如BFV方案，支持密文上的加法和乘法運算：

$$ text{Decrypt}( text{Encrypt}(m_1) + text{Encrypt}(m_2) ) = m_1 + m_2 $$ 此特性廣泛應用于雲計算數據安全。

三、術語對照與學術參考

中文：同态（名詞）；同态的（形容詞）
英文：Homomorphism (n.)；Homomorphic (adj.)
标準化定義：ISO/IEC 18033-4 标準規範同态加密的數學基礎。
權威解釋：Springer《數學百科全書》将同态列為抽象代數核心概念，MIT OpenCourseWare 提供群同态的教學證明案例。

網絡擴展解釋

同态是數學中描述兩個代數結構之間保持運算關系的映射，以下是詳細解釋：

一、基本定義

同态指兩個代數結構（如群、環、域）之間的映射$f: G rightarrow H$，滿足對任意元素$a,b in G$，有： $$f(a cdot b) = f(a) circ f(b)$$ 其中$cdot$和$circ$分别代表原結構和目标結構的運算。例如在群論中，群$G$到群$H$的同态需保持群乘法關系不變。

二、核心特性

運算保持性
映射前後加法/乘法運算順序可調換，即：
- 加法同态：$f(x+y)=f(x)+f(y)$
- 乘法同态：$f(x cdot y)=f(x) cdot f(y)$
單位元映射
若結構存在單位元，則$f(1_G)=1_H$，例如環同态要求乘法單位元必須對應。

三、與同構的區别

同态不要求映射是雙射，允許結構信息的部分丢失；而同構（Isomorphism）是雙射同态，表明兩個結構完全等價。例如所有整數構成的群$mathbb{Z}$與偶數構成的群$2mathbb{Z}$存在同态，但不同構。

四、應用領域

密碼學
全同态加密允許在加密數據上直接運算，結果解密後與明文運算一緻。
代數研究
通過同态核（Ker f）分析結構差異，例如群同态的核是正規子群。

提示：關于同态的具體分類（如群同态、環同态）及定理證明，可通過知網等學術平台獲取更多文獻。