同态的英文解释翻译、同态的的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 homomorphic

分词翻译：

同态的英语翻译：

【计】 homomorphism
【化】 homeomorphism; homomorphism

专业解析

在数学与计算机科学领域，"同态的"（Homomorphic）指两个代数结构（如群、环、域）之间保持运算关系的映射。若结构A到结构B的映射f满足对任意元素a,b和运算，均有f(ab) = f(a) * f(b)，则称f为同态映射。该概念在密码学中尤为重要，例如同态加密允许对密文直接运算，解密后结果与对明文进行相同运算一致，为隐私计算提供理论基础。

一、核心定义与数学表达

设代数结构 ((G, cdot)) 与 ((H, circ))，映射 (f: G to H) 若满足： $$ forall a,b in G, quad f(a cdot b) = f(a) circ f(b) $$ 则称 (f) 为同态映射。例如整数加法群到模n加法群的映射 (f(x) = x mod n) 是同态，因 (f(a+b) = (a+b) mod n = (a mod n) + (b mod n) = f(a) + f(b))。

二、分类与应用场景

群同态（Group Homomorphism）
保持群运算的映射，如线性变换 (f: mathbb{R}^n to mathbb{R}^m) 满足 (f(mathbf{x} + mathbf{y}) = f(mathbf{x}) + f(mathbf{y}))。
环同态（Ring Homomorphism）
需同时保持加法与乘法运算，例如复数共轭映射 (z mapsto bar{z}) 满足 (overline{z_1 + z_2} = bar{z_1} + bar{z_2}) 和 (overline{z_1 z_2} = bar{z_1} cdot bar{z_2})。
同态加密（Homomorphic Encryption）
密码学方案如BFV方案，支持密文上的加法和乘法运算：

$$ text{Decrypt}( text{Encrypt}(m_1) + text{Encrypt}(m_2) ) = m_1 + m_2 $$ 此特性广泛应用于云计算数据安全。

三、术语对照与学术参考

中文：同态（名词）；同态的（形容词）
英文：Homomorphism (n.)；Homomorphic (adj.)
标准化定义：ISO/IEC 18033-4 标准规范同态加密的数学基础。
权威解释：Springer《数学百科全书》将同态列为抽象代数核心概念，MIT OpenCourseWare 提供群同态的教学证明案例。

网络扩展解释

同态是数学中描述两个代数结构之间保持运算关系的映射，以下是详细解释：

一、基本定义

同态指两个代数结构（如群、环、域）之间的映射$f: G rightarrow H$，满足对任意元素$a,b in G$，有： $$f(a cdot b) = f(a) circ f(b)$$ 其中$cdot$和$circ$分别代表原结构和目标结构的运算。例如在群论中，群$G$到群$H$的同态需保持群乘法关系不变。

二、核心特性

运算保持性
映射前后加法/乘法运算顺序可调换，即：
- 加法同态：$f(x+y)=f(x)+f(y)$
- 乘法同态：$f(x cdot y)=f(x) cdot f(y)$
单位元映射
若结构存在单位元，则$f(1_G)=1_H$，例如环同态要求乘法单位元必须对应。

三、与同构的区别

同态不要求映射是双射，允许结构信息的部分丢失；而同构（Isomorphism）是双射同态，表明两个结构完全等价。例如所有整数构成的群$mathbb{Z}$与偶数构成的群$2mathbb{Z}$存在同态，但不同构。

四、应用领域

密码学
全同态加密允许在加密数据上直接运算，结果解密后与明文运算一致。
代数研究
通过同态核（Ker f）分析结构差异，例如群同态的核是正规子群。

提示：关于同态的具体分类（如群同态、环同态）及定理证明，可通过知网等学术平台获取更多文献。