梯形法英文解釋翻譯、梯形法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【電】 keystoning

分詞翻譯：

梯的英語翻譯：

ladder; stairs; terraced

形的英語翻譯：

appear; body; compare; entity; form; look; shape
【醫】 appearance; morpho-; shape

法的英語翻譯：

dharma; divisor; follow; law; standard
【醫】 method
【經】 law

專業解析

梯形法（Trapezoidal Rule），在數值積分領域是一種基礎且重要的近似計算方法。其核心思想是将曲線下的面積（即函數的定積分）近似為一系列小梯形面積之和。以下是詳細解釋：

基本概念與名稱來源 (Basic Concept & Etymology)
- 中文名：梯形法 - 名稱直接來源于其幾何直觀：将積分區間分割成若幹小區間後，每個小區間上曲線與x軸圍成的曲邊梯形，用直邊梯形（即梯形）來近似替代。
- 英文名：Trapezoidal Rule / Trapezium Rule - 同樣源于幾何形狀“梯形”（Trapezoid 美式 / Trapezium 英式）。Rule 指代這是一種計算規則或公式。
- 目的：用于近似計算函數 ( f(x) ) 在區間 ([a, b]) 上的定積分 (int_{a}^{b} f(x) dx)，尤其在無法或難以求得解析解（原函數）時非常有用。
數學原理與公式推導 (Mathematical Principle & Formula Derivation)
- 區間分割：将積分區間 ([a, b]) 等分為 (n) 個寬度為 (h = frac{b - a}{n}) 的小區間。分點為 (x_0 = a, x_1 = a+h, x_2 = a+2h, dots, x_n = b)。
- 梯形近似：在每個小區間 ([x_{i-1}, xi]) 上，用連接點 ((x{i-1}, f(x_{i-1}))) 和 ((x_i, f(x_i))) 的直線段（即梯形的“直邊”）代替曲線 (y = f(x))。該小區間上的曲邊梯形面積近似為一個直角梯形的面積。
- 單個梯形面積：第 (i) 個梯形的面積為 (frac{1}{2} [f(x_{i-1}) + f(x_i)] cdot h)。
- 求和：将所有 (n) 個小梯形的面積相加，得到整個積分區間 ([a, b]) 上定積分的近似值： $$ int_{a}^{b} f(x) dx approx T_n = frac{h}{2} [f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x2) + dots + 2f(x{n-1}) + f(x_n)] $$ 或等價地： $$ Tn = frac{h}{2} left[ f(a) + 2 sum{i=1}^{n-1} f(a + ih) + f(b) right] $$ 其中 (h = frac{b - a}{n})。
應用與特點 (Application & Characteristics)
- 適用性：適用于被積函數 (f(x)) 在 ([a, b]) 上連續的情況。對于光滑函數，通常能提供合理的近似。
- 精度：梯形法的誤差通常與 (h) 成正比，即步長 (h) 減半，誤差大緻減小到原來的四分之一。屬于一階方法（雖然局部截斷誤差是二階的，但全局誤差是一階的）。
- 優缺點：
  - 優點： 概念直觀，公式簡單，易于理解和編程實現。
  - 缺點： 對于某些函數（如振蕩劇烈或導數較大的函數），可能需要很小的步長（很大的 (n)）才能達到所需精度，計算效率可能較低。相比更高級的方法（如辛普森法），精度通常較低。
- 變體：複合梯形法（Composite Trapezoidal Rule）是基礎梯形法在多個子區間上的直接應用，即上述标準形式。此外還有結合外推技術的龍貝格積分（Romberg Integration），以梯形法近似值為起點進行加速收斂。

權威參考來源 (Authoritative References):

Burden, R. L., & Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis (9th ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning. - 經典數值分析教材，對梯形法及其誤差分析有标準、嚴謹的闡述。 (參考章節：數值積分)
Atkinson, K. E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons. - 另一本權威數值分析教材，詳細讨論了梯形法的推導、誤差估計及其在積分計算中的地位。
Stoer, J., & Bulirsch, R. (2002). Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.). Springer-Verlag. - 深入探讨數值方法，包括梯形法的理論基礎和應用細節。
Wolfram MathWorld - Trapezoidal Rule: 提供梯形法的精确定義、公式和簡要說明，是可靠的線上數學百科全書。 (可訪問性鍊接需視具體情況而定，此處提供來源名稱)
Khan Academy - Trapezoidal Rule: 提供直觀的圖形解釋和逐步計算示例，適合初學者理解概念。 (可訪問性鍊接需視具體情況而定，此處提供來源名稱)

網絡擴展解釋

梯形法（Trapezoidal Rule）是一種數值積分方法，用于近似計算定積分 (int_a^b f(x) , dx) 的值。其核心思想是将積分區間劃分為若幹小段，用梯形面積之和逼近曲線下方的面積。以下是詳細解釋：

1. 基本原理

幾何意義：将被積函數 (f(x)) 的曲線分割為多個小區間，每個小區間内用直線（一次多項式）連接相鄰兩點，形成梯形。所有梯形面積之和即為積分近似值。
公式推導：将區間 ([a, b]) 等分為 (n) 段，每段寬度 (h = frac{b-a}{n})，則積分近似為： $$ inta^b f(x) , dx approx frac{h}{2} left[ f(a) + 2sum{k=1}^{n-1} f(a+kh) + f(b) right] $$

2. 誤差分析

截斷誤差：梯形法的局部誤差為 (O(h))，整體誤差為 (O(h))。誤差隨分段數 (n) 增加而減小，但收斂速度較慢。
適用性：對平滑函數效果較好；若函數曲率較大（如劇烈震蕩），需增加分段數或改用高階方法（如辛普森法）。

3. 計算步驟

選擇分段數 (n)，計算步長 (h = frac{b-a}{n})；
計算端點 (f(a)) 和 (f(b))；
計算中間點的函數值并求和；
代入公式得到積分近似值。

4. 示例

計算 (int_0 x , dx)（真實值為 (1/3)）：

取 (n=2)，則 (h=0.5)，分點為 (x=0, 0.5, 1)；
近似值：(frac{0.5}{2} [0 + 2(0.25) + 1] = 0.375)，誤差約 (12.5%)。

5. 優缺點

優點：計算簡單，易于實現。
缺點：精度較低，需較多分段才能達到高精度。

梯形法常用于工程計算和科學模拟中，適合對計算效率要求較高、精度需求一般的場景。對于複雜積分，可結合自適應細分或更高階方法優化結果。