調和數英文解釋翻譯、調和數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 harmonic number

分詞翻譯：

調和的英語翻譯：

harmony; accord; concordance; congruity; consonance; coordination; tone
unison
【化】 stirring
【經】 reconciliation; tone

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

專業解析

調和數（Harmonic Numbers）是數論與數學分析中的核心概念，指調和級數的前$n$項和，記為$H_n$，其定義為： $$ Hn = sum{k=1}^n frac{1}{k} = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots + frac{1}{n} $$ 在英語中，該術語對應"Harmonic Numbers"，詞源可追溯至古希臘畢達哥拉斯學派對琴弦振動頻率比例的研究。

核心特征與應用領域

發散性：當$n to infty$時，$H_n$趨近于無窮大，但增長速度僅為$ln n + gamma$（$gamma$為歐拉-馬歇羅尼常數），這一性質在算法複雜度分析中具有重要應用。
遞推關系：滿足$Hn = H{n-1} + frac{1}{n}$，該遞推式在概率論中用于分析隨機排列的循環結構。
廣義形式：推廣至實數域的調和函數$H_x$可通過積分表達式定義： $$ H_x = int_0 frac{1 - t^x}{1 - t} dt $$ 該表達式在特殊函數理論中被深入研究。

跨學科應用

組合數學：精确計算排列組合問題中的期望值，如《具體數學》中記載的禮券收集問題分析
物理聲學：解釋弦樂器泛音列的頻率分布規律，與傅裡葉級數存在本質聯繫

（參考資料：Wolfram MathWorld Harmonic Number；《Concrete Mathematics》Graham, Knuth, Patashnik 著）

網絡擴展解釋

調和數是數學中的概念，主要有以下兩種定義和解釋：

一、調和級數相關的調和數（主要定義）

定義：第( n )個調和數( H_n )是前( n )個正整數的倒數和，即： $$ H_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots + frac{1}{n} $$ 它也可以表示為調和平均值的倒數乘以( n )。

關鍵性質：

發散性：調和級數( H_n )隨( n )增大趨于無窮大，即發散。
增長速度：近似公式為： $$ H_n approx ln n + gamma + frac{1}{2n} - frac{1}{12n} $$ 其中( gamma )為歐拉-馬歇羅尼常數（約0.5772）。
遞推關系：滿足( H{n} = H{n-1} + frac{1}{n} )。
應用：在算法分析中，調和數與逆序對數量相關，複雜度為( O(n log n) )。

二、數論中的調和數（歐爾調和數）

定義：若自然數( n )的所有正因數的調和平均為整數，則稱( n )為調和數。具體地，若因數倒數的平均滿足： $$ frac{k}{frac{1}{d_1} + frac{1}{d_2} + cdots + frac{1}{d_k}} in mathbb{Z} $$ 則( n )為調和數（( k )為因數個數）。

示例：

完全數（如6、28）：其所有因數的倒數之和為2，例如： $$ frac{1}{1} + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{6} = 2 $$ 因此完全數一定是調和數。

調和級數調和數：關注級數部分性質，常用于分析、數論和算法。
數論調和數：與因數調和平均相關，完全數是其特例。兩者名稱相同但定義不同，需根據上下文區分。