调和数英文解释翻译、调和数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 harmonic number

分词翻译：

调和的英语翻译：

harmony; accord; concordance; congruity; consonance; coordination; tone
unison
【化】 stirring
【经】 reconciliation; tone

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

专业解析

调和数（Harmonic Numbers）是数论与数学分析中的核心概念，指调和级数的前$n$项和，记为$H_n$，其定义为： $$ Hn = sum{k=1}^n frac{1}{k} = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots + frac{1}{n} $$ 在英语中，该术语对应"Harmonic Numbers"，词源可追溯至古希腊毕达哥拉斯学派对琴弦振动频率比例的研究。

核心特征与应用领域

发散性：当$n to infty$时，$H_n$趋近于无穷大，但增长速度仅为$ln n + gamma$（$gamma$为欧拉-马歇罗尼常数），这一性质在算法复杂度分析中具有重要应用。
递推关系：满足$Hn = H{n-1} + frac{1}{n}$，该递推式在概率论中用于分析随机排列的循环结构。
广义形式：推广至实数域的调和函数$H_x$可通过积分表达式定义： $$ H_x = int_0 frac{1 - t^x}{1 - t} dt $$ 该表达式在特殊函数理论中被深入研究。

跨学科应用

组合数学：精确计算排列组合问题中的期望值，如《具体数学》中记载的礼券收集问题分析
物理声学：解释弦乐器泛音列的频率分布规律，与傅里叶级数存在本质联系

（参考资料：Wolfram MathWorld Harmonic Number；《Concrete Mathematics》Graham, Knuth, Patashnik 著）

网络扩展解释

调和数是数学中的概念，主要有以下两种定义和解释：

一、调和级数相关的调和数（主要定义）

定义：第( n )个调和数( H_n )是前( n )个正整数的倒数和，即： $$ H_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots + frac{1}{n} $$ 它也可以表示为调和平均值的倒数乘以( n )。

关键性质：

发散性：调和级数( H_n )随( n )增大趋于无穷大，即发散。
增长速度：近似公式为： $$ H_n approx ln n + gamma + frac{1}{2n} - frac{1}{12n} $$ 其中( gamma )为欧拉-马歇罗尼常数（约0.5772）。
递推关系：满足( H{n} = H{n-1} + frac{1}{n} )。
应用：在算法分析中，调和数与逆序对数量相关，复杂度为( O(n log n) )。

二、数论中的调和数（欧尔调和数）

定义：若自然数( n )的所有正因数的调和平均为整数，则称( n )为调和数。具体地，若因数倒数的平均满足： $$ frac{k}{frac{1}{d_1} + frac{1}{d_2} + cdots + frac{1}{d_k}} in mathbb{Z} $$ 则( n )为调和数（( k )为因数个数）。

示例：

完全数（如6、28）：其所有因数的倒数之和为2，例如： $$ frac{1}{1} + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{6} = 2 $$ 因此完全数一定是调和数。

调和级数调和数：关注级数部分性质，常用于分析、数论和算法。
数论调和数：与因数调和平均相关，完全数是其特例。两者名称相同但定义不同，需根据上下文区分。