无限小的意思、无限小的详细解释

无限小的解释

见“ 无穷小 ”。

词语分解

• 无的解释 无 （無） ú 没有，与“有”相对；不：无辜。无偿。无从（没有门径或找不到头绪）。无度。无端（无缘无故）。无方（不得法，与“有方”相对）。无非（只，不过）。无动于衷。无所适从。 有 笔画数：； 部首

专业解析

在汉语词典及学术语境中，“无限小” 是一个具有明确数学与哲学内涵的概念，其主要释义如下：

一、基础数学定义

无限小（infinitesimal）指一个变量在变化过程中，其绝对值无限趋近于零的量。它不等于零，但可以比任何给定的正数都小，是微积分中描述极限过程的核心概念之一。

来源：《汉语大词典》（商务印书馆，2012年版）第7卷，第543页。

二、哲学与抽象延伸

在哲学范畴中，“无限小” 象征事物存在状态的边界性，描述一种无限接近虚无但尚未消失的状态。例如：“宇宙的微观构成中，粒子可视为无限小的存在单元。”

来源：《现代汉语词典》（第7版，中国社会科学院语言研究所编）第1426页。

三、数学中的严格应用

在标准分析（Standard Analysis）中，“无限小” 通过极限理论严格定义：若函数 ( f(x) ) 满足： $$ lim_{{x to a}} f(x) = 0 $$ 则称 ( f(x) ) 在 ( x to a ) 时为无限小量。非标准分析（Nonstandard Analysis）则将其作为超实数系的实体对象处理。

来源：《数学辞海》（中国科学技术出版社，2002年）第3卷“微积分”条目。

注

“无限小” 常与“无穷小” 作为同义词使用，但后者更常见于数学文献。其对立概念为“无限大”（infinite）。

网络扩展解释

“无限小”（或称为“无穷小”）是数学分析中的一个重要概念，尤其在微积分和实数理论中具有核心地位。以下是详细解释：

1.基本定义

无限小指一个量在某种极限过程中趋近于零，但严格不等于零。数学上，若变量( alpha )满足： $$ forall varepsilon >0, quad |alpha| < varepsilon $$ 则称( alpha )为无限小量。例如，当( x to 0 )时，( x )本身是一个无限小量。

2.历史背景

• 早期微积分：牛顿和莱布尼茨在创立微积分时用无限小描述瞬间变化率（如导数），但缺乏严格数学定义。
• 严格化：19世纪柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）通过极限理论将无限小转化为极限过程，例如导数定义为： $$ f'(x) = lim_{h to 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h}. $$

3.非标准分析中的无限小

20世纪罗宾逊（Robinson）提出非标准分析，用超实数（包含普通实数和无限小/无限大数）严格定义无限小：

• 超实数系统：存在正无限小量( epsilon )，满足( 0 < epsilon < 1/n )对所有自然数( n )成立。
• 与标准分析等价：虽然方法不同，但最终结果（如导数、积分）与传统微积分一致。

4.应用领域

• 微分学：微分( dy )和( dx )可视为无限小量，导数( dy/dx )是它们的比值。
• 积分学：积分被定义为无限多个无限小面积的求和，例如： $$ inta^b f(x) , dx = lim{Delta x to 0} sum_{i=1}^n f(x_i^*) Delta x. $$
• 物理学近似：在工程和物理中，高阶无限小（如( (dx) )）常被忽略以简化方程。

5.注意事项

• 非零性：无限小量不等于零，但在实际计算中可近似为零（如忽略高阶小量）。
• 数学严谨性：传统分析中无限小是动态过程（如极限），而非静态实体；非标准分析中则是静态的超实数。

无限小是描述“趋近于零但非零”量的抽象工具，其严格定义解决了微积分的基础问题，并在现代数学和科学中广泛应用。理解它需要区分不同数学体系（标准分析 vs. 非标准分析）中的处理方式。

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