無限小的意思、無限小的詳細解釋

無限小的解釋

見“ 無窮小 ”。

詞語分解

• 無的解釋 無 （無） ú 沒有，與“有”相對；不：無辜。無償。無從（沒有門徑或找不到頭緒）。無度。無端（無緣無故）。無方（不得法，與“有方”相對）。無非（隻，不過）。無動于衷。無所適從。 有 筆畫數：； 部首

專業解析

在漢語詞典及學術語境中，“無限小” 是一個具有明确數學與哲學内涵的概念，其主要釋義如下：

一、基礎數學定義

無限小（infinitesimal）指一個變量在變化過程中，其絕對值無限趨近于零的量。它不等于零，但可以比任何給定的正數都小，是微積分中描述極限過程的核心概念之一。

來源：《漢語大詞典》（商務印書館，2012年版）第7卷，第543頁。

二、哲學與抽象延伸

在哲學範疇中，“無限小” 象征事物存在狀态的邊界性，描述一種無限接近虛無但尚未消失的狀态。例如：“宇宙的微觀構成中，粒子可視為無限小的存在單元。”

來源：《現代漢語詞典》（第7版，中國社會科學院語言研究所編）第1426頁。

三、數學中的嚴格應用

在标準分析（Standard Analysis）中，“無限小” 通過極限理論嚴格定義：若函數 ( f(x) ) 滿足： $$ lim_{{x to a}} f(x) = 0 $$ 則稱 ( f(x) ) 在 ( x to a ) 時為無限小量。非标準分析（Nonstandard Analysis）則将其作為超實數系的實體對象處理。

來源：《數學辭海》（中國科學技術出版社，2002年）第3卷“微積分”條目。

注

“無限小” 常與“無窮小” 作為同義詞使用，但後者更常見于數學文獻。其對立概念為“無限大”（infinite）。

網絡擴展解釋

“無限小”（或稱為“無窮小”）是數學分析中的一個重要概念，尤其在微積分和實數理論中具有核心地位。以下是詳細解釋：

1.基本定義

無限小指一個量在某種極限過程中趨近于零，但嚴格不等于零。數學上，若變量( alpha )滿足： $$ forall varepsilon >0, quad |alpha| < varepsilon $$ 則稱( alpha )為無限小量。例如，當( x to 0 )時，( x )本身是一個無限小量。

2.曆史背景

• 早期微積分：牛頓和萊布尼茨在創立微積分時用無限小描述瞬間變化率（如導數），但缺乏嚴格數學定義。
• 嚴格化：19世紀柯西（Cauchy）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）通過極限理論将無限小轉化為極限過程，例如導數定義為： $$ f'(x) = lim_{h to 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h}. $$

3.非标準分析中的無限小

20世紀羅賓遜（Robinson）提出非标準分析，用超實數（包含普通實數和無限小/無限大數）嚴格定義無限小：

• 超實數系統：存在正無限小量( epsilon )，滿足( 0 < epsilon < 1/n )對所有自然數( n )成立。
• 與标準分析等價：雖然方法不同，但最終結果（如導數、積分）與傳統微積分一緻。

4.應用領域

• 微分學：微分( dy )和( dx )可視為無限小量，導數( dy/dx )是它們的比值。
• 積分學：積分被定義為無限多個無限小面積的求和，例如： $$ inta^b f(x) , dx = lim{Delta x to 0} sum_{i=1}^n f(x_i^*) Delta x. $$
• 物理學近似：在工程和物理中，高階無限小（如( (dx) )）常被忽略以簡化方程。

5.注意事項

• 非零性：無限小量不等于零，但在實際計算中可近似為零（如忽略高階小量）。
• 數學嚴謹性：傳統分析中無限小是動态過程（如極限），而非靜态實體；非标準分析中則是靜态的超實數。

無限小是描述“趨近于零但非零”量的抽象工具，其嚴格定義解決了微積分的基礎問題，并在現代數學和科學中廣泛應用。理解它需要區分不同數學體系（标準分析 vs. 非标準分析）中的處理方式。

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