复数运算英文解释翻译、复数运算的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 complex operation

分词翻译：

复数的英语翻译：

complex number; plural; pluralism; plurality
【计】 complex number
【经】 complex number

运算的英语翻译：

operation
【计】 O; OP; operation

专业解析

复数（Complex Number）是数学中表示二维平面内点的数，由实部（Real Part）和虚部（Imaginary Part）构成，形式为 ( a + bi )（其中 ( a ) 和 ( b ) 为实数，( i ) 是虚数单位，满足 ( i = -1 )）。复数运算是基于代数规则对复数进行的计算，主要包括以下核心操作：

一、基本运算规则

加法/减法
实部与实部相加减，虚部与虚部相加减：

$$(a + bi) pm (c + di) = (a pm c) + (b pm d)i$$
乘法
按分配律展开并化简（利用 ( i = -1 )）：

$$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$
除法
需将分母实数化，乘以共轭复数：

$$frac{a + bi}{c + di} = frac{(a + bi)(c - di)}{c + d} = frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c + d}$$
模（Magnitude）
复数 ( z = a + bi ) 的模定义为：

$$|z| = sqrt{a + b}$$

二、工程与物理应用

复数运算在以下领域具有关键作用：

电路分析：交流电路中用复数阻抗（Impedance）计算电压、电流相位关系，简化微分方程求解。
信号处理：傅里叶变换将信号分解为复指数形式，用于频谱分析和滤波设计。
控制理论：系统稳定性通过复平面上的极点分布判断。
电磁学：电磁波传播的波动方程常以复数形式求解。

三、重要概念扩展

共轭复数（Conjugate）：( a + bi ) 的共轭为 ( a - bi )，其乘积为实数 ( a + b )。
极坐标形式：( z = r(cos theta + isin theta) = re^{itheta} )，其中 ( r = |z| )，( theta = arg(z) )，简化乘除运算（模相乘除，辐角相加减）。

术语中英对照

中文	英文
复数	Complex Number
实部	Real Part
虚部	Imaginary Part
虚数单位	Imaginary Unit
模	Magnitude/Modulus
共轭复数	Complex Conjugate
辐角	Argument

来源：

Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics (第10版), Wiley.
Oppenheim, A.V. Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall.
Dorf, R.C. Modern Control Systems, Pearson.
Griffiths, D.J. Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press.

网络扩展解释

复数运算是指对复数进行数学操作的过程，复数由实部和虚部组成，形式为 ( z = a + bi )（其中 ( a ) 是实部，( b ) 是虚部，( i ) 是虚数单位，满足 ( i = -1 )）。以下是复数运算的核心概念和常见操作：

1. 基本运算

加减法：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减
例：( (2+3i) + (1-5i) = 3-2i )
乘法：按分配律展开，并用 ( i = -1 ) 化简
例：( (2+3i)(1-2i) = 2(1) + 2(-2i) + 3i(1) + 3i(-2i) = 2 -4i +3i -6i = 8 -i )
除法：通过乘以分母的共轭复数，将分母有理化
例：( frac{3+4i}{1-2i} = frac{(3+4i)(1+2i)}{(1) + (2)} = frac{-5 +10i}{5} = -1 +2i )

2. 共轭复数

复数的共轭是虚部取反，即 ( overline{z} = a - bi )，作用包括：

计算模长：( |z| = sqrt{z cdot overline{z}} = sqrt{a + b} )
简化复数除法。

3. 几何意义

复数可视为平面直角坐标系中的点（实轴为横轴，虚轴为纵轴）：

模长：复数到原点的距离，( |z| = sqrt{a + b} )。
幅角：复数与实轴正方向的夹角，用于极坐标形式 ( z = r(costheta + isintheta) )。

4. 应用场景

电路分析：用复数表示交流电的电压、电流（相量法）。
信号处理：傅里叶变换中复数表示频率分量。
量子力学：波函数和量子态的描述。

示例总结

若 ( z_1 = 2+3i )，( z_2 = 1-i )：

乘法：( z_1 z_2 = (2)(1) + (2)(-i) + (3i)(1) + (3i)(-i) = 2 -2i +3i -3i = 5 +i )
模长：( |z_1| = sqrt{2 +3} = sqrt{13} )

复数运算通过结合代数与几何，为科学和工程问题提供了简洁的数学工具。