複數運算英文解釋翻譯、複數運算的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 complex operation

分詞翻譯：

複數的英語翻譯：

complex number; plural; pluralism; plurality
【計】 complex number
【經】 complex number

運算的英語翻譯：

operation
【計】 O; OP; operation

專業解析

複數（Complex Number）是數學中表示二維平面内點的數，由實部（Real Part）和虛部（Imaginary Part）構成，形式為 ( a + bi )（其中 ( a ) 和 ( b ) 為實數，( i ) 是虛數單位，滿足 ( i = -1 )）。複數運算是基于代數規則對複數進行的計算，主要包括以下核心操作：

一、基本運算規則

加法/減法
實部與實部相加減，虛部與虛部相加減：

$$(a + bi) pm (c + di) = (a pm c) + (b pm d)i$$
乘法
按分配律展開并化簡（利用 ( i = -1 )）：

$$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$
除法
需将分母實數化，乘以共轭複數：

$$frac{a + bi}{c + di} = frac{(a + bi)(c - di)}{c + d} = frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c + d}$$
模（Magnitude）
複數 ( z = a + bi ) 的模定義為：

$$|z| = sqrt{a + b}$$

二、工程與物理應用

複數運算在以下領域具有關鍵作用：

電路分析：交流電路中用複數阻抗（Impedance）計算電壓、電流相位關系，簡化微分方程求解。
信號處理：傅裡葉變換将信號分解為複指數形式，用于頻譜分析和濾波設計。
控制理論：系統穩定性通過複平面上的極點分布判斷。
電磁學：電磁波傳播的波動方程常以複數形式求解。

三、重要概念擴展

共轭複數（Conjugate）：( a + bi ) 的共轭為 ( a - bi )，其乘積為實數 ( a + b )。
極坐标形式：( z = r(cos theta + isin theta) = re^{itheta} )，其中 ( r = |z| )，( theta = arg(z) )，簡化乘除運算（模相乘除，輻角相加減）。

術語中英對照

中文	英文
複數	Complex Number
實部	Real Part
虛部	Imaginary Part
虛數單位	Imaginary Unit
模	Magnitude/Modulus
共轭複數	Complex Conjugate
輻角	Argument

來源：

Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics (第10版), Wiley.
Oppenheim, A.V. Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall.
Dorf, R.C. Modern Control Systems, Pearson.
Griffiths, D.J. Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press.

網絡擴展解釋

複數運算是指對複數進行數學操作的過程，複數由實部和虛部組成，形式為 ( z = a + bi )（其中 ( a ) 是實部，( b ) 是虛部，( i ) 是虛數單位，滿足 ( i = -1 )）。以下是複數運算的核心概念和常見操作：

1. 基本運算

加減法：實部與實部相加減，虛部與虛部相加減
例：( (2+3i) + (1-5i) = 3-2i )
乘法：按分配律展開，并用 ( i = -1 ) 化簡
例：( (2+3i)(1-2i) = 2(1) + 2(-2i) + 3i(1) + 3i(-2i) = 2 -4i +3i -6i = 8 -i )
除法：通過乘以分母的共轭複數，将分母有理化
例：( frac{3+4i}{1-2i} = frac{(3+4i)(1+2i)}{(1) + (2)} = frac{-5 +10i}{5} = -1 +2i )

2. 共轭複數

複數的共轭是虛部取反，即 ( overline{z} = a - bi )，作用包括：

計算模長：( |z| = sqrt{z cdot overline{z}} = sqrt{a + b} )
簡化複數除法。

3. 幾何意義

複數可視為平面直角坐标系中的點（實軸為橫軸，虛軸為縱軸）：

模長：複數到原點的距離，( |z| = sqrt{a + b} )。
幅角：複數與實軸正方向的夾角，用于極坐标形式 ( z = r(costheta + isintheta) )。

4. 應用場景

電路分析：用複數表示交流電的電壓、電流（相量法）。
信號處理：傅裡葉變換中複數表示頻率分量。
量子力學：波函數和量子态的描述。

示例總結

若 ( z_1 = 2+3i )，( z_2 = 1-i )：

乘法：( z_1 z_2 = (2)(1) + (2)(-i) + (3i)(1) + (3i)(-i) = 2 -2i +3i -3i = 5 +i )
模長：( |z_1| = sqrt{2 +3} = sqrt{13} )

複數運算通過結合代數與幾何，為科學和工程問題提供了簡潔的數學工具。