复数幂级数英文解释翻译、复数幂级数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 complex power series

分词翻译：

复数的英语翻译：

complex number; plural; pluralism; plurality
【计】 complex number
【经】 complex number

幂级数的英语翻译：

【计】 power series; series of powers
【化】 power series

专业解析

复数幂级数是复变函数理论中的核心概念，指以复数变量( z )为中心的无限级数形式，通常表达为： $$ sum_{n=0}^{infty} a_n (z - z_0)^n $$ 其中( a_n )为复系数，( z_0 )为展开中心点。其数学本质是通过多项式项的无限叠加逼近复平面内的解析函数，收敛域为以( z_0 )为中心的某个开圆盘（收敛圆），半径由柯西-阿达马公式确定。

关键特性与定义：

收敛半径公式
根据复分析理论，收敛半径( R )可通过根值法计算： $$ R = frac{1}{limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|}} $$ 该公式由柯西提出，揭示了系数衰减速率与级数收敛范围的关系。
解析函数的等价性
魏尔斯特拉斯定理指出：在收敛圆内，复数幂级数定义的函数是解析的，且任意解析函数均可局部展开为幂级数形式。这一特性奠定了复分析中函数研究的统一框架。
典型应用示例
指数函数( e^z = sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{n!} )在复平面上处处收敛，展示了幂级数在全纯函数表示中的普适性。三角函数与对数函数也可通过类似展开式在特定区域定义。

学科关联性：

在工程数学中，复数幂级数被广泛应用于信号处理的Z变换理论，以及电磁场分析的解析延拓方法。其收敛特性直接影响着系统稳定性判据的建立。

网络扩展解释

复数幂级数是复分析中的核心概念之一，其形式为：

$$ sum_{n=0}^{infty} a_n (z - z_0)^n $$

其中：

( z ) 是复变量
( z_0 ) 是级数展开的中心点（复常数）
( a_n ) 是复系数序列

核心特性解析

收敛性
- 存在收敛半径 ( R )，由柯西-哈达玛公式计算： $$ frac{1}{R} = limsup_{n to infty} |a_n|^{1/n} $$
- 在收敛圆 ( |z - z_0| < R ) 内绝对收敛，圆外发散，圆周上需单独判断
解析性幂级数在其收敛圆内定义的函数是解析函数，具有：
- 无限次可微性
- 可逐项求导/积分
- 唯一性：同一中心点的展开系数唯一
典型展开式
- 指数函数：( e^z = sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{n!} )（全平面收敛）
- 三角函数：( sin z = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} )
- 几何级数：( frac{1}{1-z} = sum_{n=0}^{infty} z^n )（收敛半径 ( R=1 )）

与实幂级数的本质区别

几何形态：收敛域为圆形区域而非实轴上的区间
边界行为：圆周上可能存在稠密奇点（如 ( sum z^{n!} )）
延拓特性：可通过解析延拓突破原收敛域限制

应用领域

复变函数积分计算
微分方程解析解构造
物理学中的场论计算
工程信号处理的频域分析

该理论为研究解析函数提供了强有力的工具，其收敛特性通过柯西积分公式与复积分深度关联，体现了复分析中局部性质决定整体行为的核心思想。