複數幂級數英文解釋翻譯、複數幂級數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 complex power series

分詞翻譯：

複數的英語翻譯：

complex number; plural; pluralism; plurality
【計】 complex number
【經】 complex number

幂級數的英語翻譯：

【計】 power series; series of powers
【化】 power series

專業解析

複數幂級數是複變函數理論中的核心概念，指以複數變量( z )為中心的無限級數形式，通常表達為： $$ sum_{n=0}^{infty} a_n (z - z_0)^n $$ 其中( a_n )為複系數，( z_0 )為展開中心點。其數學本質是通過多項式項的無限疊加逼近複平面内的解析函數，收斂域為以( z_0 )為中心的某個開圓盤（收斂圓），半徑由柯西-阿達馬公式确定。

關鍵特性與定義：

收斂半徑公式
根據複分析理論，收斂半徑( R )可通過根值法計算： $$ R = frac{1}{limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|}} $$ 該公式由柯西提出，揭示了系數衰減速率與級數收斂範圍的關系。
解析函數的等價性
魏爾斯特拉斯定理指出：在收斂圓内，複數幂級數定義的函數是解析的，且任意解析函數均可局部展開為幂級數形式。這一特性奠定了複分析中函數研究的統一框架。
典型應用示例
指數函數( e^z = sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{n!} )在複平面上處處收斂，展示了幂級數在全純函數表示中的普適性。三角函數與對數函數也可通過類似展開式在特定區域定義。

學科關聯性：

在工程數學中，複數幂級數被廣泛應用于信號處理的Z變換理論，以及電磁場分析的解析延拓方法。其收斂特性直接影響着系統穩定性判據的建立。

網絡擴展解釋

複數幂級數是複分析中的核心概念之一，其形式為：

$$ sum_{n=0}^{infty} a_n (z - z_0)^n $$

其中：

( z ) 是複變量
( z_0 ) 是級數展開的中心點（複常數）
( a_n ) 是複系數序列

核心特性解析

收斂性
- 存在收斂半徑 ( R )，由柯西-哈達瑪公式計算： $$ frac{1}{R} = limsup_{n to infty} |a_n|^{1/n} $$
- 在收斂圓 ( |z - z_0| < R ) 内絕對收斂，圓外發散，圓周上需單獨判斷
解析性幂級數在其收斂圓内定義的函數是解析函數，具有：
- 無限次可微性
- 可逐項求導/積分
- 唯一性：同一中心點的展開系數唯一
典型展開式
- 指數函數：( e^z = sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{n!} )（全平面收斂）
- 三角函數：( sin z = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} )
- 幾何級數：( frac{1}{1-z} = sum_{n=0}^{infty} z^n )（收斂半徑 ( R=1 )）

與實幂級數的本質區别

幾何形态：收斂域為圓形區域而非實軸上的區間
邊界行為：圓周上可能存在稠密奇點（如 ( sum z^{n!} )）
延拓特性：可通過解析延拓突破原收斂域限制

應用領域

複變函數積分計算
微分方程解析解構造
物理學中的場論計算
工程信號處理的頻域分析

該理論為研究解析函數提供了強有力的工具，其收斂特性通過柯西積分公式與複積分深度關聯，體現了複分析中局部性質決定整體行為的核心思想。