点乘英文解释翻译、点乘的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 multiplication dot

分词翻译：

乘的英语翻译：

multiply; ride; ride on; take; take advantage of
【计】 multiply

专业解析

在数学和工程学领域中，"点乘"（英文：dot product）是向量运算中的基本概念，又称"点积"或"内积"。其核心定义为两个向量对应分量乘积之和，计算公式为：

$$ mathbf{A} cdot mathbf{B} = sum_{i=1}^{n} A_i B_i = |mathbf{A}||mathbf{B}|costheta $$

其中$theta$为两向量之间的夹角，$|mathbf{A}|$和$|mathbf{B}|$分别表示向量的模长。这一运算具有明确的几何意义：当两向量垂直时点乘值为零，同方向时达到最大值。

在工程应用（如电子工程）中，点乘常用于计算功率、信号相关性分析以及三维空间中的投影运算。例如，在电路分析中，瞬时功率可表示为电压向量与电流向量的点乘。国际电气与电子工程师协会（IEEE）的标准文献指出，点乘的归一化形式还能用于衡量两个信号波形的相似度。

牛津大学数学研究中心强调，点乘满足交换律和分配律，但不满足结合律，这一特性使其在计算机图形学的光照模型计算中具有不可替代的作用。美国数学协会（AMS）的学术手册进一步说明，点乘的符号能直观反映向量间的方向关系，为正时表示锐角，为负时表示钝角。

网络扩展解释

点乘（Dot Product），也称为内积或标量积，是向量运算中的一种基本操作，表示两个向量在空间中的某种“对齐程度”。以下是详细解释：

1. 数学定义

设有两个向量 (mathbf{a} = [a_1, a_2, dots, a_n]) 和 (mathbf{b} = [b_1, b_2, dots, b_n])，它们的点乘定义为： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + dots + a_n b_n $$ 结果是一个标量（数值）。

2. 几何意义

点乘的几何意义可以用向量的模长和夹角来解释： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| costheta $$ 其中：

(|mathbf{a}|) 和 (|mathbf{b}|) 是向量的模长；
(theta) 是两向量间的夹角。

应用：

方向判断：若 (costheta > 0)，两向量方向相近（锐角）；若 (costheta < 0)，方向相反（钝角）；若 (costheta = 0)，向量垂直。
投影计算：点乘可求一个向量在另一向量方向上的投影长度。

3. 主要性质

交换律：(mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a})
分配律：(mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c})
标量乘法结合律：((kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}))

4. 实际应用场景

物理中的功：力与位移的点乘计算做功（(W = mathbf{F} cdot mathbf{d})）。
计算机图形学：计算光照强度、碰撞检测等。
机器学习：衡量特征向量间的相似性（如余弦相似度）。

示例

若 (mathbf{a} = [1, 2]) 和 (mathbf{b} = [3, 4])，则： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = (1 times 3) + (2 times 4) = 3 + 8 = 11 $$

若需判断两向量是否垂直，可验证点乘是否为0。例如，(mathbf{a} = [1, -1]) 和 (mathbf{b} = [1, 1]) 的点乘为 (1 times 1 + (-1) times 1 = 0)，因此垂直。

点乘是线性代数和工程科学的基础工具，广泛应用于量化向量间的几何关系。