點乘英文解釋翻譯、點乘的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 multiplication dot

分詞翻譯：

乘的英語翻譯：

multiply; ride; ride on; take; take advantage of
【計】 multiply

專業解析

在數學和工程學領域中，"點乘"（英文：dot product）是向量運算中的基本概念，又稱"點積"或"内積"。其核心定義為兩個向量對應分量乘積之和，計算公式為：

$$ mathbf{A} cdot mathbf{B} = sum_{i=1}^{n} A_i B_i = |mathbf{A}||mathbf{B}|costheta $$

其中$theta$為兩向量之間的夾角，$|mathbf{A}|$和$|mathbf{B}|$分别表示向量的模長。這一運算具有明确的幾何意義：當兩向量垂直時點乘值為零，同方向時達到最大值。

在工程應用（如電子工程）中，點乘常用于計算功率、信號相關性分析以及三維空間中的投影運算。例如，在電路分析中，瞬時功率可表示為電壓向量與電流向量的點乘。國際電氣與電子工程師協會（IEEE）的标準文獻指出，點乘的歸一化形式還能用于衡量兩個信號波形的相似度。

牛津大學數學研究中心強調，點乘滿足交換律和分配律，但不滿足結合律，這一特性使其在計算機圖形學的光照模型計算中具有不可替代的作用。美國數學協會（AMS）的學術手冊進一步說明，點乘的符號能直觀反映向量間的方向關系，為正時表示銳角，為負時表示鈍角。

網絡擴展解釋

點乘（Dot Product），也稱為内積或标量積，是向量運算中的一種基本操作，表示兩個向量在空間中的某種“對齊程度”。以下是詳細解釋：

1. 數學定義

設有兩個向量 (mathbf{a} = [a_1, a_2, dots, a_n]) 和 (mathbf{b} = [b_1, b_2, dots, b_n])，它們的點乘定義為： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + dots + a_n b_n $$ 結果是一個标量（數值）。

2. 幾何意義

點乘的幾何意義可以用向量的模長和夾角來解釋： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| costheta $$ 其中：

(|mathbf{a}|) 和 (|mathbf{b}|) 是向量的模長；
(theta) 是兩向量間的夾角。

應用：

方向判斷：若 (costheta > 0)，兩向量方向相近（銳角）；若 (costheta < 0)，方向相反（鈍角）；若 (costheta = 0)，向量垂直。
投影計算：點乘可求一個向量在另一向量方向上的投影長度。

3. 主要性質

交換律：(mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a})
分配律：(mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c})
标量乘法結合律：((kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}))

4. 實際應用場景

物理中的功：力與位移的點乘計算做功（(W = mathbf{F} cdot mathbf{d})）。
計算機圖形學：計算光照強度、碰撞檢測等。
機器學習：衡量特征向量間的相似性（如餘弦相似度）。

示例

若 (mathbf{a} = [1, 2]) 和 (mathbf{b} = [3, 4])，則： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = (1 times 3) + (2 times 4) = 3 + 8 = 11 $$

若需判斷兩向量是否垂直，可驗證點乘是否為0。例如，(mathbf{a} = [1, -1]) 和 (mathbf{b} = [1, 1]) 的點乘為 (1 times 1 + (-1) times 1 = 0)，因此垂直。

點乘是線性代數和工程科學的基礎工具，廣泛應用于量化向量間的幾何關系。