英语翻译：

【计】 iff

相关词条：

1.ifandonlyif  

分词翻译：

且的英语翻译：

even; just

仅的英语翻译：

just; merely; only; scarcely

专业解析

“当且仅当”是逻辑学和数学中的核心术语，其英文对应表达为“if and only if”，常缩写为“iff”。它表示两个命题之间严格的双向条件关系，即前件与后件互为充分且必要条件。该短语用于强调两个陈述的等价性：只有当其中一个命题成立时，另一个命题才必然成立，反之亦然。

语义解析

1. 充分必要条件：在命题逻辑中，“当且仅当”连接的两个命题P与Q满足： $$P leftrightarrow Q equiv (P to Q) land (Q to P)$$ 即P成立时Q一定成立，且Q成立时P也一定成立。

2. 应用场景：常见于数学定理的定义与证明，例如“三角形是等边的当且仅当它是等角的”，表明两种属性互相蕴含。

权威参考

• 《牛津数学词典》（Oxford Dictionary of Mathematics）定义其为“两个命题具有完全相同真值”的逻辑连接词。
• 斯坦福哲学百科全书（Stanford Encyclopedia of Philosophy）指出，“当且仅当”在形式逻辑中用于构建严格的双条件语句，避免日常语言中的歧义。
• Wolfram MathWorld 强调其符号化为“↔”，是数学公理化体系中定义等价关系的标准工具。

语用差异

在汉语实践中，“当且仅当”比口语化的“只要…就…”更精确，排除了单方向蕴含的可能性。例如“方程有实根当且仅当判别式非负”中，两者存在严格的双向依赖。

网络扩展解释

“当且仅当”是逻辑学和数学中常用的连接词，用于表达两个命题之间的充分且必要条件关系。以下是详细解释：

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1. 定义

• “当”部分：表示充分条件（即“如果A，则B”）。例如：“当A成立时，B一定成立”。
• “仅当”部分：表示必要条件（即“只有B成立，A才可能成立”）。例如：“仅当B成立时，A才能成立”。
• 合起来：“当且仅当”意味着A和B互为充分必要条件，即A成立 ⇨ B成立，且B成立 ⇨ A成立。

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2. 逻辑符号

在符号逻辑中，“当且仅当”通常用双箭头⇔ 或≡ 表示，例如：
$$ A ⇔ B $$
这表示A和B在逻辑上完全等价。

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3. 例子

• 数学中的例子：
  “一个数是偶数当且仅当 它能被2整除。”

  • 充分条件：若某数是偶数，则它必须能被2整除。
  • 必要条件：若某数能被2整除，则它一定是偶数。

• 日常例子：
  “你通过考试当且仅当 你的分数≥60分。”

  • 分数≥60分是“通过考试”的唯一条件，两者完全绑定。

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4. 与其他逻辑词的区别

• “如果…那么…”：仅表示充分条件（单向）。
  （如“如果下雨，那么地湿”，但地湿不一定是下雨导致的。）
• “仅当”：仅表示必要条件（反向）。
  （如“你仅当满18岁才能投票”，但满18岁不一定去投票。）
• “当且仅当”：严格的双向等价关系，无例外。

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5. 应用场景

• 数学定理：常用于定义或定理中，强调严格等价性（如几何中的全等条件）。
• 编程逻辑：用于双向条件判断（如 if and only if 语句）。
• 法律条文：规定唯一条件（如“合同生效当且仅当双方签字”）。

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总结来说，“当且仅当”是逻辑中最严格的连接词，表明两个命题完全等价，缺一不可。

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