初等矩阵英文解释翻译、初等矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 elementary matrix

at the beginning of; early; elementary; first; original
【医】 arch-; arche-; prot-; proto-

class; grade; rank; wait; when
【机】 iso-

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

在汉英词典框架下，"初等矩阵"对应的英文术语为elementary matrix，指通过单位矩阵进行一次初等行变换或列变换得到的方阵。这类矩阵在矩阵运算和线性方程组求解中具有核心作用，其定义和性质如下：

初等矩阵分为三类：

行交换矩阵：交换单位矩阵的两行，例如交换第$i$行和第$j$行的矩阵表示为： $$ E_{ij} = I - e_ie_i^T - e_je_j^T + e_ie_j^T + e_je_i^T $$
行缩放矩阵：将单位矩阵某一行乘以非零标量$k$，例如第$i$行缩放为$k$的矩阵： $$ E_i(k) = I + (k-1)e_ie_i^T $$
行替换矩阵：将某一行加上另一行的$k$倍，例如第$j$行加上第$i$行的$k$倍： $$ E_{ij}(k) = I + ke_je_i^T $$

初等矩阵均为可逆矩阵，其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵。例如：

初等矩阵是高斯消元法的基础工具，可用于将任意矩阵分解为初等矩阵的乘积（如$A = E_1E_2cdots E_n$），这一特性在计算行列式、求逆矩阵及解线性方程组时广泛应用。

参考来源：定义与公式参考自《线性代数及其应用》（David C. Lay著）及MIT OpenCourseWare线性代数课程讲义。

初等矩阵是线性代数中的核心概念，其定义和性质如下：

初等矩阵是指通过对单位矩阵进行一次初等行变换或初等列变换得到的方阵。它对应着矩阵的三种基本行/列操作。

交换两行（列）
- 示例：交换单位矩阵的第1行和第2行 $$ begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 end{pmatrix} $$
某行（列）乘以非零常数
- 示例：将单位矩阵第3行乘以$k$ $$ begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & k end{pmatrix} $$
某行（列）加上另一行（列）的倍数
- 示例：第2行加上第1行的$c$倍 $$ begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 c & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{pmatrix} $$

可逆性
所有初等矩阵均可逆，且其逆矩阵仍是初等矩阵：
- 交换行的逆矩阵是自身
- 数乘行的逆矩阵将$k$改为$1/k$
- 行加法的逆矩阵将$c$改为$-c$
变换作用
- 左乘初等矩阵：对目标矩阵实施对应的行变换
- 右乘初等矩阵：对目标矩阵实施对应的列变换
矩阵分解
任何可逆矩阵都可表示为若干初等矩阵的乘积，这是求逆矩阵的理论基础。

初等矩阵将抽象的线性变换具象化为可操作的矩阵乘法，是理解矩阵运算本质的重要工具。