初等矩陣英文解釋翻譯、初等矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 elementary matrix

at the beginning of; early; elementary; first; original
【醫】 arch-; arche-; prot-; proto-

class; grade; rank; wait; when
【機】 iso-

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

在漢英詞典框架下，"初等矩陣"對應的英文術語為elementary matrix，指通過單位矩陣進行一次初等行變換或列變換得到的方陣。這類矩陣在矩陣運算和線性方程組求解中具有核心作用，其定義和性質如下：

初等矩陣分為三類：

行交換矩陣：交換單位矩陣的兩行，例如交換第$i$行和第$j$行的矩陣表示為： $$ E_{ij} = I - e_ie_i^T - e_je_j^T + e_ie_j^T + e_je_i^T $$
行縮放矩陣：将單位矩陣某一行乘以非零标量$k$，例如第$i$行縮放為$k$的矩陣： $$ E_i(k) = I + (k-1)e_ie_i^T $$
行替換矩陣：将某一行加上另一行的$k$倍，例如第$j$行加上第$i$行的$k$倍： $$ E_{ij}(k) = I + ke_je_i^T $$

初等矩陣均為可逆矩陣，其逆矩陣仍為同類型的初等矩陣。例如：

初等矩陣是高斯消元法的基礎工具，可用于将任意矩陣分解為初等矩陣的乘積（如$A = E_1E_2cdots E_n$），這一特性在計算行列式、求逆矩陣及解線性方程組時廣泛應用。

參考來源：定義與公式參考自《線性代數及其應用》（David C. Lay著）及MIT OpenCourseWare線性代數課程講義。

初等矩陣是線性代數中的核心概念，其定義和性質如下：

初等矩陣是指通過對單位矩陣進行一次初等行變換或初等列變換得到的方陣。它對應着矩陣的三種基本行/列操作。

交換兩行（列）
- 示例：交換單位矩陣的第1行和第2行 $$ begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 end{pmatrix} $$
某行（列）乘以非零常數
- 示例：将單位矩陣第3行乘以$k$ $$ begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & k end{pmatrix} $$
某行（列）加上另一行（列）的倍數
- 示例：第2行加上第1行的$c$倍 $$ begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 c & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{pmatrix} $$

可逆性
所有初等矩陣均可逆，且其逆矩陣仍是初等矩陣：
- 交換行的逆矩陣是自身
- 數乘行的逆矩陣将$k$改為$1/k$
- 行加法的逆矩陣将$c$改為$-c$
變換作用
- 左乘初等矩陣：對目标矩陣實施對應的行變換
- 右乘初等矩陣：對目标矩陣實施對應的列變換
矩陣分解
任何可逆矩陣都可表示為若幹初等矩陣的乘積，這是求逆矩陣的理論基礎。

初等矩陣将抽象的線性變換具象化為可操作的矩陣乘法，是理解矩陣運算本質的重要工具。