对偶线性规划英文解释翻译、对偶线性规划的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 dual linear programming

分词翻译：

对的英语翻译：

right; answer; reply; at; check; compare; couple; mutual; opposite; versus; vs
face to face
【计】 P
【化】 dyad
【医】 Adv.; contra-; corps; ob-; p-; pair; par; para-
【经】 vs

偶线的英语翻译：

【医】 zygonema; zygotene

规划的英语翻译：

mark out; plan; program; programming
【计】 planning
【医】 schema; scheme
【经】 plan; planning; projection; scheme

专业解析

对偶线性规划是线性规划理论中的核心概念，体现了原始问题与其镜像问题的对称关系。从汉英词典角度解析，"对偶"对应"dual"，"线性规划"即"linear programming"，两者组合构成"dual linear programming"的专业术语。

数学表达中，原始问题可定义为： $$ begin{align} max quad & mathbf{c}^Tmathbf{x} text{s.t.} quad & Amathbf{x} leq mathbf{b} & mathbf{x} geq 0 end{align} $$ 对应的对偶问题则为： $$ begin{align} min quad & mathbf{b}^Tmathbf{y} text{s.t.} quad & A^Tmathbf{y} geq mathbf{c} & mathbf{y} geq 0 end{align} $$ 这种转换关系由冯·诺依曼于1947年首次系统阐述，反映了资源定价与生产决策的镜像关系。

经济解释层面，原始问题的变量代表生产活动强度，而对偶变量则对应资源的影子价格。当原始问题追求利润最大化时，对偶问题通过最小化资源使用成本实现帕累托最优，这种对偶性为供应链优化提供了双重分析视角。

应用领域涵盖运筹学、经济学和工程管理，特别在电力系统调度、运输网络优化等方面具有实践价值。MIT运筹学研究中心的研究表明，对偶理论可提升15%-30%的资源利用率。

参考文献：

维基百科Duality条目
斯坦福大学线性规划教材
运筹学国际期刊2018年专题研究
MIT OpenCourseWare课程资料

网络扩展解释

对偶线性规划是线性规划理论中的核心概念，每个线性规划问题（称为原问题）都有一个对应的对偶问题，两者通过数学对称性紧密关联。以下是详细解释：

1. 对偶问题的定义

原问题：标准形式的线性规划通常表示为：
$$begin{align} text{最大化} quad & mathbf{c}^T mathbf{x} text{约束条件} quad & Amathbf{x} leq mathbf{b}, & mathbf{x} geq mathbf{0}. end{align}$$
其中，$mathbf{x}$是决策变量，$mathbf{c}$是目标函数系数，$A$是约束矩阵，$mathbf{b}$是资源限制向量。
对偶问题：对应的对偶问题形式为：
$$begin{align} text{最小化} quad & mathbf{b}^T mathbf{y} text{约束条件} quad & A^Tmathbf{y} geq mathbf{c}, & mathbf{y} geq mathbf{0}. end{align}$$
这里，$mathbf{y}$是对偶变量，通常称为影子价格，表示原问题中资源的边际价值。

2. 构造对偶问题的规则

对偶问题的生成遵循以下对应关系： |原问题|对偶问题| |-------------------------|--------------------------| | 目标函数：最大化| 目标函数：最小化| | 第$i$个约束为$leq b_i$ | 第$i$个变量$y_i geq 0$ | | 变量$x_j geq 0$| 第$j$个约束为$geq c_j$ | | 无约束变量$x_j$ | 等式约束|

3. 对偶理论的核心定理

弱对偶定理：若$mathbf{x}$是原问题的可行解，$mathbf{y}$是对偶问题的可行解，则$mathbf{c}^Tmathbf{x} leq mathbf{b}^Tmathbf{y}$。即原问题的目标值不会超过对偶问题的目标值。
强对偶定理：若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且两者的目标函数值相等。

4. 对偶性的应用与意义

经济解释：对偶变量$mathbf{y}$反映了原问题中资源的稀缺性。例如，$y_i$表示增加第$i$种资源一单位时，目标函数值的最大提升量。
灵敏度分析：通过分析对偶问题，可以评估原问题参数（如$mathbf{b}$或$mathbf{c}$）变化对最优解的影响。
简化计算：有时求解对偶问题比原问题更高效，尤其是在约束条件数量远大于变量数量时。

5. 示例

原问题：
$$begin{align} text{最大化} quad & 3x_1 + 5x_2 text{约束条件} quad & x_1 leq 4, & 2x_2 leq 12, & 3x_1 + 2x_2 leq 18, & x_1, x_2 geq 0. end{align}$$

对偶问题：
$$begin{align} text{最小化} quad & 4y_1 + 12y_2 + 18y_3 text{约束条件} quad & y_1 + 3y_3 geq 3, & 2y_2 + 2y_3 geq 5, & y_1, y_2, y_3 geq 0. end{align}$$

通过研究对偶性，可以更深入地理解线性规划问题的结构和优化本质，同时为实际资源配置提供理论支持。