伯努利二项式频率分布英文解释翻译、伯努利二项式频率分布的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【化】 binomial distribution

分词翻译：

努的英语翻译：

exert; protrude; put forth

利的英语翻译：

benefit; favourable; profit; sharp

二项式频率分布的英语翻译：

【化】 binomial distribution

专业解析

伯努利二项式频率分布（Bernoulli Binomial Frequency Distribution）是概率论与统计学中描述离散随机变量的核心模型之一，它刻画了在独立重复的伯努利试验（Bernoulli Trials）中成功次数的概率分布。

核心概念与定义
- 伯努利试验（Bernoulli Trial）：指单次随机试验，其结果仅有两种互斥的可能：“成功”（通常编码为1）或“失败”（通常编码为0）。每次试验的成功概率记为 ( p ) ( ( 0 leq p leq 1 ))，失败概率则为 ( q = 1 - p )。
- 二项分布（Binomial Distribution）：当进行一系列 ( n ) 次独立的伯努利试验（即每次试验结果互不影响），且每次试验的成功概率 ( p ) 保持不变时，随机变量 ( X )（代表 ( n ) 次试验中总的“成功”次数）所服从的概率分布称为二项分布，记作 ( X sim text{Binomial}(n, p) )。
- 频率分布（Frequency Distribution）：在此语境下，指二项分布描述了特定成功次数 ( k ) (( k = 0, 1, 2, ..., n )) 在大量重复的 ( n ) 次伯努利试验序列中出现的理论概率或预期频率。
概率质量函数（PMF）二项分布的概率质量函数给出了随机变量 ( X ) 取值为 ( k )（即恰好有 ( k ) 次成功）的确切概率： $$ P(X = k) = binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$ 其中：
- ( binom{n}{k} = frac{n!}{k!(n-k)!} ) 是二项式系数（Binomial Coefficient），表示从 ( n ) 次试验中选出 ( k ) 次成功的位置有多少种组合方式。
- ( p^k ) 表示 ( k ) 次成功的概率。
- ( (1-p)^{n-k} ) 表示剩余的 ( n-k ) 次失败的概率。
关键性质与应用场景
- 期望（均值）：( E(X) = np )。表示在长期重复试验中，平均每次 ( n ) 次试验里成功的次数。
- 方差：( text{Var}(X) = np(1-p) )。度量成功次数的离散程度。
- 应用：该模型广泛应用于需要计算固定次数独立试验中成功次数的场景，例如：
  - 质量检验：抽样 ( n ) 件产品，计算次品数不超过某个值的概率。
  - 医学研究：在 ( n ) 个独立病人中，某种疗法有效的病人数。
  - 调查统计：( n ) 个随机受访者中支持某政策的人数。
  - 游戏理论：多次独立游戏中获胜的次数。
与伯努利分布的关系伯努利分布（Bernoulli Distribution）是二项分布在试验次数 ( n = 1 ) 时的特例。此时，随机变量 ( X ) 表示单次伯努利试验的结果（0或1），其概率质量函数为： $$ P(X=1) = p, quad P(X=0) = 1-p $$ 因此，二项分布可以看作是 ( n ) 个独立同分布的伯努利随机变量之分布。

权威参考来源：

《概率论导论》（Introduction to Probability） - Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang：该教材对伯努利试验和二项分布有清晰严谨的定义和深入讨论，是国际广泛使用的经典概率论教材。
Wolfram MathWorld - Binomial Distribution：权威的在线数学百科全书，提供二项分布的标准数学定义、性质、公式及相关链接，内容由专家维护。
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods：美国国家标准与技术研究院（NIST）提供的权威统计学手册，其章节明确涵盖离散分布，包括二项分布的定义和应用背景。

网络扩展解释

根据你的问题，"伯努利二项式频率分布"可能是对伯努利分布（Bernoulli Distribution）和二项分布（Binomial Distribution）的合并表述，但这两个概念在统计学中是独立且密切相关的。以下是详细解释：

1.伯努利分布（Bernoulli Distribution）

定义：描述单次随机试验（伯努利试验）的结果分布，仅有两种可能结果：成功（通常编码为1，概率为$p$）或失败（编码为0，概率为$1-p$）。
公式：若随机变量$X$服从伯努利分布，其概率质量函数为： $$ P(X=k) = begin{cases} p & text{当 } k=1, 1-p & text{当 } k=0. end{cases} $$
例子：抛一枚硬币一次，正面朝上的概率为$p=0.5$，即为伯努利分布。

2.二项分布（Binomial Distribution）

定义：描述在$n$次独立重复的伯努利试验中，成功次数$k$的概率分布。它是伯努利分布的推广。
公式：若随机变量$X$服从参数为$(n,p)$的二项分布，其概率质量函数为： $$ P(X=k) = C(n,k) cdot p^k cdot (1-p)^{n-k}, $$ 其中$C(n,k)=frac{n!}{k!(n-k)!}$是组合数。
例子：抛一枚硬币10次，恰好3次正面的概率计算即为二项分布的应用。

3.两者的关系

基础与扩展：伯努利分布是二项分布的特例（当$n=1$时，二项分布退化为伯努利分布）。
独立性假设：二项分布要求各次伯努利试验相互独立，且每次成功的概率$p$保持不变。

4.“频率分布”的理解

“频率分布”一般指数据中不同结果出现的频次分布。在统计学中：

伯努利分布描述单次试验结果的频率（如成功/失败的比例）；
二项分布描述多次试验中成功次数的频率分布（如10次抛硬币中正面的次数及其对应概率）。

伯努利分布：单次试验的二元结果概率模型。
二项分布：多次独立伯努利试验的成功次数概率模型。
频率分布：实际数据中不同结果的出现频次，可通过上述理论分布进行建模和预测。

如需具体应用场景或公式推导的进一步解释，可参考相关统计学资料。