伯努利二項式頻率分布英文解釋翻譯、伯努利二項式頻率分布的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 binomial distribution

分詞翻譯：

努的英語翻譯：

exert; protrude; put forth

利的英語翻譯：

benefit; favourable; profit; sharp

二項式頻率分布的英語翻譯：

【化】 binomial distribution

專業解析

伯努利二項式頻率分布（Bernoulli Binomial Frequency Distribution）是概率論與統計學中描述離散隨機變量的核心模型之一，它刻畫了在獨立重複的伯努利試驗（Bernoulli Trials）中成功次數的概率分布。

核心概念與定義
- 伯努利試驗（Bernoulli Trial）：指單次隨機試驗，其結果僅有兩種互斥的可能：“成功”（通常編碼為1）或“失敗”（通常編碼為0）。每次試驗的成功概率記為 ( p ) ( ( 0 leq p leq 1 ))，失敗概率則為 ( q = 1 - p )。
- 二項分布（Binomial Distribution）：當進行一系列 ( n ) 次獨立的伯努利試驗（即每次試驗結果互不影響），且每次試驗的成功概率 ( p ) 保持不變時，隨機變量 ( X )（代表 ( n ) 次試驗中總的“成功”次數）所服從的概率分布稱為二項分布，記作 ( X sim text{Binomial}(n, p) )。
- 頻率分布（Frequency Distribution）：在此語境下，指二項分布描述了特定成功次數 ( k ) (( k = 0, 1, 2, ..., n )) 在大量重複的 ( n ) 次伯努利試驗序列中出現的理論概率或預期頻率。
概率質量函數（PMF）二項分布的概率質量函數給出了隨機變量 ( X ) 取值為 ( k )（即恰好有 ( k ) 次成功）的确切概率： $$ P(X = k) = binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$ 其中：
- ( binom{n}{k} = frac{n!}{k!(n-k)!} ) 是二項式系數（Binomial Coefficient），表示從 ( n ) 次試驗中選出 ( k ) 次成功的位置有多少種組合方式。
- ( p^k ) 表示 ( k ) 次成功的概率。
- ( (1-p)^{n-k} ) 表示剩餘的 ( n-k ) 次失敗的概率。
關鍵性質與應用場景
- 期望（均值）：( E(X) = np )。表示在長期重複試驗中，平均每次 ( n ) 次試驗裡成功的次數。
- 方差：( text{Var}(X) = np(1-p) )。度量成功次數的離散程度。
- 應用：該模型廣泛應用于需要計算固定次數獨立試驗中成功次數的場景，例如：
  - 質量檢驗：抽樣 ( n ) 件産品，計算次品數不超過某個值的概率。
  - 醫學研究：在 ( n ) 個獨立病人中，某種療法有效的病人數。
  - 調查統計：( n ) 個隨機受訪者中支持某政策的人數。
  - 遊戲理論：多次獨立遊戲中獲勝的次數。
與伯努利分布的關系伯努利分布（Bernoulli Distribution）是二項分布在試驗次數 ( n = 1 ) 時的特例。此時，隨機變量 ( X ) 表示單次伯努利試驗的結果（0或1），其概率質量函數為： $$ P(X=1) = p, quad P(X=0) = 1-p $$ 因此，二項分布可以看作是 ( n ) 個獨立同分布的伯努利隨機變量之分布。

權威參考來源：

《概率論導論》（Introduction to Probability） - Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang：該教材對伯努利試驗和二項分布有清晰嚴謹的定義和深入讨論，是國際廣泛使用的經典概率論教材。
Wolfram MathWorld - Binomial Distribution：權威的線上數學百科全書，提供二項分布的标準數學定義、性質、公式及相關鍊接，内容由專家維護。
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods：美國國家标準與技術研究院（NIST）提供的權威統計學手冊，其章節明确涵蓋離散分布，包括二項分布的定義和應用背景。

網絡擴展解釋

根據你的問題，"伯努利二項式頻率分布"可能是對伯努利分布（Bernoulli Distribution）和二項分布（Binomial Distribution）的合并表述，但這兩個概念在統計學中是獨立且密切相關的。以下是詳細解釋：

1.伯努利分布（Bernoulli Distribution）

定義：描述單次隨機試驗（伯努利試驗）的結果分布，僅有兩種可能結果：成功（通常編碼為1，概率為$p$）或失敗（編碼為0，概率為$1-p$）。
公式：若隨機變量$X$服從伯努利分布，其概率質量函數為： $$ P(X=k) = begin{cases} p & text{當 } k=1, 1-p & text{當 } k=0. end{cases} $$
例子：抛一枚硬币一次，正面朝上的概率為$p=0.5$，即為伯努利分布。

2.二項分布（Binomial Distribution）

定義：描述在$n$次獨立重複的伯努利試驗中，成功次數$k$的概率分布。它是伯努利分布的推廣。
公式：若隨機變量$X$服從參數為$(n,p)$的二項分布，其概率質量函數為： $$ P(X=k) = C(n,k) cdot p^k cdot (1-p)^{n-k}, $$ 其中$C(n,k)=frac{n!}{k!(n-k)!}$是組合數。
例子：抛一枚硬币10次，恰好3次正面的概率計算即為二項分布的應用。

3.兩者的關系

基礎與擴展：伯努利分布是二項分布的特例（當$n=1$時，二項分布退化為伯努利分布）。
獨立性假設：二項分布要求各次伯努利試驗相互獨立，且每次成功的概率$p$保持不變。

4.“頻率分布”的理解

“頻率分布”一般指數據中不同結果出現的頻次分布。在統計學中：

伯努利分布描述單次試驗結果的頻率（如成功/失敗的比例）；
二項分布描述多次試驗中成功次數的頻率分布（如10次抛硬币中正面的次數及其對應概率）。

伯努利分布：單次試驗的二元結果概率模型。
二項分布：多次獨立伯努利試驗的成功次數概率模型。
頻率分布：實際數據中不同結果的出現頻次，可通過上述理論分布進行建模和預測。

如需具體應用場景或公式推導的進一步解釋，可參考相關統計學資料。