
【计】 Markov chain
马尔可夫链(Markov Chain)是一种重要的随机过程模型,其核心特性是“无记忆性”(Markov Property),即系统未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态,与历史状态无关。该概念由俄国数学家安德烈·马尔可夫(Andrey Markov)于1906年首次提出,现广泛应用于统计学、人工智能、金融学等领域。
状态空间(State Space)
系统所有可能状态的集合,记为 ( S = {s_1, s_2, dots, s_n} )。例如,天气预测中的状态空间可为 ({晴, 雨, 阴})。
转移概率(Transition Probability)
从当前状态 ( i ) 转移到下一状态 ( j ) 的概率,记为 ( P{ij} )。所有转移概率构成转移矩阵 ( P ),满足: $$ P{ij} geq 0 quad text{且} quad sum{j in S} P{ij} = 1 $$ 例如,若今天是晴天,明天有70%概率仍为晴,20%概率转雨,10%概率转阴,则 ( P{text{晴→晴}} = 0.7 ),( P{text{晴→雨}} = 0.2 ),( P_{text{晴→阴}} = 0.1 )。
无记忆性(Markov Property)
数学表述为: $$ P(X_{t+1} = j mid Xt = i, X{t-1}, dots, X0) = P(X{t+1} = j mid X_t = i) $$ 即未来状态仅由当前状态决定,与历史路径无关。
离散时间马尔可夫链(DTMC)
状态转移发生在离散时间点(如每天、每分钟),适用于文本生成、排队系统分析。
例:谷歌PageRank算法将网页视为状态,通过链接转移概率计算网页重要性。
连续时间马尔可夫链(CTMC)
状态转移可随时发生,常用于可靠性工程、生物化学反应建模。
例:通信网络中的故障修复时间预测。
隐马尔可夫模型(HMM)
状态不可直接观测,需通过观测序列推断(如语音识别中通过声音信号推测单词序列)。
中文术语 | 英文术语 | 定义来源 |
---|---|---|
马尔可夫链 | Markov Chain | 《随机过程导论》(Ross, S.M.) |
状态空间 | State Space | 剑桥大学统计实验室资料 |
转移概率矩阵 | Transition Probability Matrix | 美国数学会(AMS)术语库 |
平稳分布 | Stationary Distribution | 斯坦福大学概率论讲义 |
参考文献
- Ross, S.M. Introduction to Probability Models. Academic Press.
- Norris, J.R. Markov Chains. Cambridge University Press.
- Kemeny, J.G. & Snell, J.L. Finite Markov Chains. Springer.
- Rabiner, L.R. A Tutorial on Hidden Markov Models. Proceedings of the IEEE.
马尔可夫链(Markov Chain)是一种描述随机状态转换的概率模型,其核心特性是“无记忆性”(马尔可夫性质),即未来状态仅取决于当前状态,与过去历史无关。以下是详细解释:
数学上,马尔可夫链可用状态转移矩阵表示。假设有两个状态A和B,转移矩阵为: $$ P = begin{bmatrix} 0.7 & 0.3 0.4 & 0.6 end{bmatrix} $$ 表示从状态A转移到A的概率为0.7,转移到B为0.3;从B转移到A的概率为0.4,转移到B为0.6。
公式化定义为: $$ P(X{t+1} = x{t+1} mid X_t = xt, X{t-1} = x_{t-1}, ldots, X_0 = x0) = P(X{t+1} = x_{t+1} mid X_t = x_t) $$ 即未来状态仅与当前状态有关,与更早的历史无关。
当经过足够多步转移后,系统可能达到平稳分布,即状态概率不再随时间变化。例如,若转移矩阵为: $$ P = begin{bmatrix} 0.9 & 0.1 0.5 & 0.5 end{bmatrix} $$ 其平稳分布可通过解方程$pi P = pi$得到,结果为$pi = [5/6, 1/6]$,表示长期下状态A的概率为5/6,状态B为1/6。
假设用马尔可夫链模拟天气:
如果需要更深入的数学推导或具体应用案例,可以进一步探讨!
剥夺公权的判决背靠背不动情的吊艇柱盾螺高通量束堆共同海损的分担数额共通性共享假脱机狗窝换频器精神性视觉的酒瘾决策机构卡车驾驶员懒鬼离子实迷走神经过敏屏蔽罩鬈曲燃料喷嘴设备控制寄存器生存者的推定生物分布学嗜酸性细胞衰老者抬椅听唤声纳未结合补体的