【計】 Markov chain
馬爾可夫鍊（Markov Chain）是一種重要的隨機過程模型，其核心特性是“無記憶性”（Markov Property），即系統未來狀态的條件概率分布僅依賴于當前狀态，與曆史狀态無關。該概念由俄國數學家安德烈·馬爾可夫（Andrey Markov）于1906年首次提出，現廣泛應用于統計學、人工智能、金融學等領域。
狀态空間（State Space）
系統所有可能狀态的集合，記為 ( S = {s_1, s_2, dots, s_n} )。例如，天氣預測中的狀态空間可為 ({晴, 雨, 陰})。
轉移概率（Transition Probability）
從當前狀态 ( i ) 轉移到下一狀态 ( j ) 的概率，記為 ( P{ij} )。所有轉移概率構成轉移矩陣 ( P )，滿足： $$ P{ij} geq 0 quad text{且} quad sum{j in S} P{ij} = 1 $$ 例如，若今天是晴天，明天有70%概率仍為晴，20%概率轉雨，10%概率轉陰，則 ( P{text{晴→晴}} = 0.7 )，( P{text{晴→雨}} = 0.2 )，( P_{text{晴→陰}} = 0.1 )。
無記憶性（Markov Property）
數學表述為： $$ P(X_{t+1} = j mid Xt = i, X{t-1}, dots, X0) = P(X{t+1} = j mid X_t = i) $$ 即未來狀态僅由當前狀态決定，與曆史路徑無關。
離散時間馬爾可夫鍊（DTMC）
狀态轉移發生在離散時間點（如每天、每分鐘），適用于文本生成、排隊系統分析。
例：谷歌PageRank算法将網頁視為狀态，通過鍊接轉移概率計算網頁重要性。
連續時間馬爾可夫鍊（CTMC）
狀态轉移可隨時發生，常用于可靠性工程、生物化學反應建模。
例：通信網絡中的故障修複時間預測。
隱馬爾可夫模型（HMM）
狀态不可直接觀測，需通過觀測序列推斷（如語音識别中通過聲音信號推測單詞序列）。
| 中文術語 | 英文術語 | 定義來源 |
|---|---|---|
| 馬爾可夫鍊 | Markov Chain | 《隨機過程導論》（Ross, S.M.） |
| 狀态空間 | State Space | 劍橋大學統計實驗室資料 |
| 轉移概率矩陣 | Transition Probability Matrix | 美國數學會（AMS）術語庫 |
| 平穩分布 | Stationary Distribution | 斯坦福大學概率論講義 |
參考文獻
- Ross, S.M. Introduction to Probability Models. Academic Press.
- Norris, J.R. Markov Chains. Cambridge University Press.
- Kemeny, J.G. & Snell, J.L. Finite Markov Chains. Springer.
- Rabiner, L.R. A Tutorial on Hidden Markov Models. Proceedings of the IEEE.
馬爾可夫鍊（Markov Chain）是一種描述隨機狀态轉換的概率模型，其核心特性是“無記憶性”（馬爾可夫性質），即未來狀态僅取決于當前狀态，與過去曆史無關。以下是詳細解釋：
數學上，馬爾可夫鍊可用狀态轉移矩陣表示。假設有兩個狀态A和B，轉移矩陣為： $$ P = begin{bmatrix} 0.7 & 0.3 0.4 & 0.6 end{bmatrix} $$ 表示從狀态A轉移到A的概率為0.7，轉移到B為0.3；從B轉移到A的概率為0.4，轉移到B為0.6。
公式化定義為： $$ P(X{t+1} = x{t+1} mid X_t = xt, X{t-1} = x_{t-1}, ldots, X_0 = x0) = P(X{t+1} = x_{t+1} mid X_t = x_t) $$ 即未來狀态僅與當前狀态有關，與更早的曆史無關。
當經過足夠多步轉移後，系統可能達到平穩分布，即狀态概率不再隨時間變化。例如，若轉移矩陣為： $$ P = begin{bmatrix} 0.9 & 0.1 0.5 & 0.5 end{bmatrix} $$ 其平穩分布可通過解方程$pi P = pi$得到，結果為$pi = [5/6, 1/6]$，表示長期下狀态A的概率為5/6，狀态B為1/6。
假設用馬爾可夫鍊模拟天氣：
如果需要更深入的數學推導或具體應用案例，可以進一步探讨！
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