连续随机变量英文解释翻译、连续随机变量的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 continuous random variable

分词翻译：

连续的英语翻译：

sequence; progression; concatenation; continuum; run; series
【医】 continuation; continuity; per continuum
【经】 continuation

随机变量的英语翻译：

【计】 random variable; stochastic variable
【化】 random variable
【经】 random variable

专业解析

在概率论与统计学中，连续随机变量（Continuous Random Variable）是指取值于一个或多个连续区间内的随机变量，其可能值不可数且充满整个定义域。与离散型随机变量不同，连续随机变量的概率分布通过概率密度函数（Probability Density Function, PDF）描述，而非概率质量函数。例如，测量某地区的气温或成年人的身高均属于连续随机变量的典型应用场景。

数学上，设$X$为连续随机变量，其概率特性满足以下条件：

概率密度函数：存在非负函数$f(x)$，使得对任意区间$[a,b]$，有
$$P(a leq X leq b) = int_{a}^{b} f(x) , dx$$

累积分布函数：$F(x) = P(X leq x) = int_{-infty}^{x} f(t) , dt$，且满足$F'(x) = f(x)$（若可导）。

连续随机变量的期望值与方差分别定义为：

期望：$mu = E[X] = int_{-infty}^{infty} x f(x) , dx$
方差：$sigma = text{Var}(X) = int_{-infty}^{infty} (x - mu) f(x) , dx$

常见连续分布包括正态分布、指数分布和均匀分布。例如，正态分布的PDF为

$$f(x) = frac{1}{sigma sqrt{2pi}} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}}$$

该公式被广泛应用于自然科学和社会科学中的误差分析。

权威参考资料：

美国国家标准与技术研究院（NIST）对连续概率分布的定义与性质分析（链接）
剑桥大学概率课程中连续变量的应用案例（链接）
麻省理工学院开放课程中关于随机变量积分的推导（链接）

网络扩展解释

连续随机变量是概率论中的核心概念，其特点与离散随机变量有本质区别：

定义与特性
连续随机变量是指取值在某个区间（如实数轴上的区间）内可以取无限不可数个值的变量。例如，测量某物体的长度、温度或时间间隔时，结果可能为任意实数值，无法一一列举。
概率描述方式
- 概率密度函数（PDF）：用 ( f(x) ) 表示，描述变量在某点附近的概率“密度”。概率密度本身不是概率，需通过积分计算区间概率，即 ( P(a leq X leq b) = int_{a}^{b} f(x) , dx )。
- 累积分布函数（CDF）：定义为 ( F(x) = P(X leq x) = int_{-infty}^{x} f(t) , dt )，表示变量小于等于某值的概率。
与离散变量的关键区别
- 连续变量在单一点的概率为0，即 ( P(X = c) = 0 )，因此讨论概率时需指定区间。
- 概率密度函数的值可以大于1（如均匀分布 ( U(0, 0.5) ) 的PDF为2），而离散变量的概率质量函数总和为1。
常见例子
- 正态分布：描述自然现象（如身高、测量误差），PDF为钟形曲线。
- 均匀分布：区间内概率密度恒定，如 ( X sim U(a, b) )。
- 指数分布：常用于描述事件发生的时间间隔。
应用场景
连续随机变量广泛应用于物理、工程、经济学等领域，例如：信号处理中的噪声分析、金融中的资产价格建模、质量控制中的尺寸误差评估等。

若需具体公式或更深入的数学推导（如期望值 ( E[X] = int_{-infty}^{infty} x f(x) , dx ) 或方差计算），可进一步说明。