連續隨機變量英文解釋翻譯、連續隨機變量的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 continuous random variable

分詞翻譯：

連續的英語翻譯：

sequence; progression; concatenation; continuum; run; series
【醫】 continuation; continuity; per continuum
【經】 continuation

隨機變量的英語翻譯：

【計】 random variable; stochastic variable
【化】 random variable
【經】 random variable

專業解析

在概率論與統計學中，連續隨機變量（Continuous Random Variable）是指取值于一個或多個連續區間内的隨機變量，其可能值不可數且充滿整個定義域。與離散型隨機變量不同，連續隨機變量的概率分布通過概率密度函數（Probability Density Function, PDF）描述，而非概率質量函數。例如，測量某地區的氣溫或成年人的身高均屬于連續隨機變量的典型應用場景。

數學上，設$X$為連續隨機變量，其概率特性滿足以下條件：

概率密度函數：存在非負函數$f(x)$，使得對任意區間$[a,b]$，有
$$P(a leq X leq b) = int_{a}^{b} f(x) , dx$$

累積分布函數：$F(x) = P(X leq x) = int_{-infty}^{x} f(t) , dt$，且滿足$F'(x) = f(x)$（若可導）。

連續隨機變量的期望值與方差分别定義為：

期望：$mu = E[X] = int_{-infty}^{infty} x f(x) , dx$
方差：$sigma = text{Var}(X) = int_{-infty}^{infty} (x - mu) f(x) , dx$

常見連續分布包括正态分布、指數分布和均勻分布。例如，正态分布的PDF為

$$f(x) = frac{1}{sigma sqrt{2pi}} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}}$$

該公式被廣泛應用于自然科學和社會科學中的誤差分析。

權威參考資料：

美國國家标準與技術研究院（NIST）對連續概率分布的定義與性質分析（鍊接）
劍橋大學概率課程中連續變量的應用案例（鍊接）
麻省理工學院開放課程中關于隨機變量積分的推導（鍊接）

網絡擴展解釋

連續隨機變量是概率論中的核心概念，其特點與離散隨機變量有本質區别：

定義與特性
連續隨機變量是指取值在某個區間（如實數軸上的區間）内可以取無限不可數個值的變量。例如，測量某物體的長度、溫度或時間間隔時，結果可能為任意實數值，無法一一列舉。
概率描述方式
- 概率密度函數（PDF）：用 ( f(x) ) 表示，描述變量在某點附近的概率“密度”。概率密度本身不是概率，需通過積分計算區間概率，即 ( P(a leq X leq b) = int_{a}^{b} f(x) , dx )。
- 累積分布函數（CDF）：定義為 ( F(x) = P(X leq x) = int_{-infty}^{x} f(t) , dt )，表示變量小于等于某值的概率。
與離散變量的關鍵區别
- 連續變量在單一點的概率為0，即 ( P(X = c) = 0 )，因此讨論概率時需指定區間。
- 概率密度函數的值可以大于1（如均勻分布 ( U(0, 0.5) ) 的PDF為2），而離散變量的概率質量函數總和為1。
常見例子
- 正态分布：描述自然現象（如身高、測量誤差），PDF為鐘形曲線。
- 均勻分布：區間内概率密度恒定，如 ( X sim U(a, b) )。
- 指數分布：常用于描述事件發生的時間間隔。
應用場景
連續隨機變量廣泛應用于物理、工程、經濟學等領域，例如：信號處理中的噪聲分析、金融中的資産價格建模、質量控制中的尺寸誤差評估等。

若需具體公式或更深入的數學推導（如期望值 ( E[X] = int_{-infty}^{infty} x f(x) , dx ) 或方差計算），可進一步說明。